VECTOR ALGEBRA: FUNDAMENTE, MAGNITUDINI, VECTORI - MATEMATICA

Algebra vector este o ramură a matematicii care sisteme studii de ecuatii liniare, vectori, matrice, spații vectoriale și transformări liniare. Este legat de domenii precum inginerie, rezolvarea ecuațiilor diferențiale, analiza funcțională, cercetarea operațiunilor, grafică computerizată, printre altele.

Un alt domeniu pe care l-a adoptat algebra liniară este fizica, deoarece prin aceasta a fost posibil să se dezvolte studiul fenomenelor fizice, descriindu-le prin utilizarea vectorilor. Acest lucru a făcut posibilă o mai bună înțelegere a universului.

Fundamentele

Vector algebra provine din studiul cuaterniunilor (extinderea numerelor reale) 1, i, j și k, precum și din geometria carteziană promovată de Gibbs și Heaviside, care și-au dat seama că vectorii vor servi ca instrument pentru reprezintă diverse fenomene fizice.

Algebra vectorială este studiată prin trei elemente fundamentale:

Geometric

Vectoarele sunt reprezentate de linii care au o orientare, iar operațiile precum adunarea, scăderea și înmulțirea cu numere reale sunt definite prin metode geometrice.

analitic

Descrierea vectorilor și a operațiilor lor se face cu numere, numite componente. Acest tip de descriere este rezultatul unei reprezentări geometrice, deoarece se folosește un sistem de coordonate.

Axiomatic

Se face o descriere a vectorilor, indiferent de sistemul de coordonate sau de orice tip de reprezentare geometrică.

Studiul figurilor în spațiu se face prin reprezentarea lor într-un sistem de referință, care poate fi într-una sau mai multe dimensiuni. Printre principalele sisteme se numără:

- Sistem unidimensional, care este o linie dreaptă în care un punct (O) reprezintă originea și un alt punct (P) determină scara (lungimea) și direcția sa:

- Sistem de coordonate dreptunghiulare (bidimensional), care este compus din două linii perpendiculare numite axa x și axa y, care trec printr-un punct de origine (O); în acest fel avionul este împărțit în patru regiuni numite cadrane. În acest caz, un punct (P) în plan este dat de distanțele care există între axe și P.

- Sistem polar de coordonate (bidimensional). În acest caz, sistemul este compus dintr-un punct O (origine) care se numește pol și o rază cu origine în O numită axă polară. În acest caz punctul P al planului, cu referire la pol și axa polară, este dat de unghiul (Ɵ), care este format de distanța care există între origine și punctul P.

- Sistem tridimensional dreptunghiular, format din trei linii perpendiculare (x, y, z) a căror origine este un punct O în spațiu. Se formează trei planuri de coordonate: xy, xz și yz; spațiul va fi împărțit în opt regiuni numite octanți. Referința unui punct P în spațiu este dată de distanțele care există între planuri și P.

magnitudini

Mărimea este o cantitate fizică ce poate fi contorizată sau măsurată printr-o valoare numerică, ca în cazul unor fenomene fizice; cu toate acestea, de multe ori este necesar să se poată descrie aceste fenomene cu alți factori decât numeric. De aceea, mărimile sunt clasificate în două tipuri:

Mărimea scalară

Sunt acele cantități care sunt definite și reprezentate numeric; adică printr-un modul împreună cu o unitate de măsură. De exemplu:

a) Timp: 5 secunde.

b) Masa: 10 kg.

c) Volum: 40 ml.

d) Temperatura: 40 ºC.

Mărimea vectorială

Sunt acele cantități care sunt definite și reprezentate de un modul împreună cu o unitate, precum și de un sens și o direcție. De exemplu:

a) Viteza: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Accelerare: 13 m / s ² ; S 45º E.

c) Forța: 280 N, 120º.

d) Greutate: -40 ĵ kg-f.

Cantitățile vectoriale sunt reprezentate grafic de către vectori.

Ce sunt vectorii?

Vectorii sunt reprezentări grafice ale unei cantități vectoriale; adică sunt segmente de linie în care capătul lor final este vârful unei săgeți.

Acestea sunt determinate de modulul sau lungimea segmentului său, direcția acestuia fiind indicată de vârful săgeții sale și direcția sa în funcție de linia din care face parte. Originea unui vector este cunoscută și sub denumirea de punct de aplicare.

Elementele unui vector sunt următoarele:

Modul

Este distanța de la origine la sfârșitul unui vector, reprezentată de un număr real împreună cu o unitate. De exemplu:

-OM- = -A- = A = 6 cm

Abordare

Este măsura unghiului care există între axa x (din pozitiv) și vector, precum și punctele cardinale (nord, sud, est și vest) sunt utilizate.

Sens

Este dat de capul de săgeată situat la sfârșitul vectorului, indicând unde merge.

Clasificarea vectorilor

În general, vectorii sunt clasificați în:

Vector fix

Este unul al cărui punct de aplicare (origine) este fixat; adică rămâne legat de un punct din spațiu, deci nu se poate mișca în el.

Vector gratuit

Se poate deplasa liber în spațiu, deoarece originea sa se deplasează în orice punct, fără a-și schimba modulul, direcția sau direcția.

Vector glisant

Este unul care își poate transfera originea de-a lungul liniei sale de acțiune fără a-și schimba modulul, direcția sau direcția.

Proprietățile vectorilor

Printre principalele proprietăți ale vectorilor sunt următoarele:

Vectori linii de echipă

Sunt acei vectori liberi care au același modul, direcție (sau sunt paraleli) și au sens ca un vector culisant sau un vector fix.

Vectori echivalenți

Se produce atunci când doi vectori au aceeași direcție (sau sunt paraleli), același sens și, deși au module și puncte de aplicare diferite, provoacă aceleași efecte.

Egalitatea vectorială

Acestea au același modul, direcție și sens, chiar și atunci când punctele lor de pornire sunt diferite, ceea ce permite unui vector paralel să se transpună fără a-l afecta.

Vectori opuși

Ele sunt acelea care au același modul și direcție, dar sensul lor este opus.

Vector unitar

Este unul în care modulul este egal cu unitatea (1). Aceasta se obține divizând vectorul la modulul său și este utilizată pentru a determina direcția și sensul unui vector, fie în plan, fie în spațiu, folosind vectorii de bază sau unități normalizate, care sunt:

Vector nul

Este unul al cărui modul este egal cu 0; adică punctul său de origine și sfârșit coincid în același punct.

Componentele unui vector

Componentele unui vector sunt acele valori ale proiecțiilor vectorului pe axele sistemului de referință; În funcție de descompunerea vectorului, care poate fi pe două sau trei axe dimensionale, se vor obține, respectiv, două sau trei componente.

Componentele unui vector sunt numere reale, care pot fi pozitive, negative sau chiar zero (0).

Astfel, dacă avem un vector Ā, cu originea într-un sistem de coordonate dreptunghiulare în planul xy (bidimensional), proiecția pe axa x este Āx, iar proiecția pe axa y este Āy. Astfel, vectorul va fi exprimat ca suma vectorilor săi.

Exemple

Primul exemplu

Avem un vector Ā care pornește de la origine și se dau coordonatele capetelor sale. Astfel, vectorul Ā = (Ā _x , A _y ) = (4, 5) cm.

Dacă vectorul Ā acționează la originea unui sistem tridimensional de coordonate triunghiulare (în spațiu) x, y, z, până la un alt punct (P), proiecțiile de pe axele sale vor fi Āx, Āy și Āz; astfel, vectorul va fi exprimat ca suma celor trei vectori componenți ai acestuia.

Al doilea exemplu

Avem un vector Ā care pornește de la origine și se dau coordonatele capetelor sale. Astfel, vectorul Ā = (A _x , A _y, A _z ) = (4, 6, -3) cm.

Vectori care au coordonatele lor dreptunghiulare pot fi exprimați în termenii vectorilor lor de bază. Pentru aceasta, fiecare coordonată trebuie înmulțită doar cu vectorul său unitar, astfel încât pentru plan și spațiu vor fi următoarele:

Pentru avion: Ā = A _x i + A _y j.

Pentru spațiul: Ā = A _x i + A _y j + A _z k.

Operații vectoriale

Există multe cantități care au un modul, sens și direcție, cum ar fi accelerația, viteza, deplasarea, forța, printre altele.

Acestea sunt aplicate în diferite domenii ale științei, iar pentru a le aplica este necesar, în unele cazuri, să efectuați operații precum adunarea, scăderea, înmulțirea și divizarea vectorilor și scalarelor.

adunarea și scăderea vectorilor

Adunarea și scăderea vectorilor este considerată o singură operație algebrică, deoarece scăderea poate fi scrisă ca o sumă; de exemplu, scăderea vectorilor Ā și Ē poate fi exprimată ca:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Există diferite metode pentru a efectua adunarea și scăderea vectorilor: pot fi grafice sau analitice.

Metode grafice

Folosit atunci când un vector are modul, direcție și direcție. Pentru aceasta, sunt desenate linii care formează o cifră care ulterior ajută la determinarea rezultatului. Printre cele mai cunoscute se numără următoarele:

Metoda paralelogramă

Pentru a face adunarea sau scăderea a doi vectori, un punct comun este ales pe axa de coordonate - care va reprezenta punctul de origine al vectorilor -, păstrându-și modulul, direcția și direcția.

Liniile sunt apoi trase paralel cu vectorii pentru a forma o paralelogramă. Vectorul rezultat este diagonala care merge de la punctul de origine al ambilor vectori la vertexul paralelogramei:

Metoda triunghiului

În această metodă, vectorii sunt plasați unul după altul, păstrându-și modulele, direcțiile și direcțiile. Vectorul rezultat va fi unirea originii primului vector cu sfârșitul celui de-al doilea vector:

metode de analiză

Doi sau mai mulți vectori pot fi adăugați sau scăzuți printr-o metodă geometrică sau vectorială:

Metoda geometrică

Când doi vectori formează un triunghi sau un paralelogram, m) .push ({});

- Proprietate distributivă scalară: dacă un vector este înmulțit cu suma a două scalare, acesta este egal cu înmulțirea vectorului pentru fiecare scalar.

Înmulțirea vectorilor

Înmulțirea sau produsul vectorilor s-ar putea face ca adunare sau scădere, dar în acest fel pierde sensul fizic și nu se găsește aproape niciodată în aplicații. Din acest motiv, tipurile de produse cele mai utilizate sunt scalarul și produsul vectorial.

Produs scalar

Este, de asemenea, cunoscut ca produsul punct al doi vectori. Când modulele a doi vectori sunt înmulțiți de cosinul cu cel mai mic unghi format între ei, se obține un scalar. Pentru a exprima un produs scalar între doi vectori, este plasat un punct între ei și acesta poate fi definit ca:

Valoarea unghiului care există între cei doi vectori va depinde dacă sunt paralele sau perpendiculare; astfel, trebuie să:

- Dacă vectorii sunt paraleli și au același sens, cosinus 0º = 1.

- Dacă vectorii sunt paraleli și au direcții opuse, cosinus 180º = -1.

- Dacă vectorii sunt perpendiculari, cosinus 90º = 0.

Acest unghi poate fi calculat, de asemenea, știind că:

Produsul dotat are următoarele proprietăți:

- Proprietate comutativă: ordinea vectorilor nu modifică scalarul.

-Proprietate distributivă: dacă un scalar este înmulțit cu suma a doi vectori, este egal cu înmulțirea scalarului pentru fiecare vector.

Produs vectorial

Înmulțirea vectorială sau produsul încrucișat al doi vectori A și B va avea ca rezultat un nou vector C și este exprimată folosind o cruce între vectori:

Noul vector va avea propriile sale caracteristici. În felul acesta:

- Direcția: acest nou vector va fi perpendicular pe plan, care este determinat de vectorii originali.

- Direcția: aceasta este determinată cu regula mâinii drepte, unde vectorul A este rotit spre B, indicând direcția de rotație cu degetele, iar direcția vectorului este marcată cu degetul mare.

- Modulul: este determinat de înmulțirea modulelor vectorilor AxB, de sinusul celui mai mic unghi care există între acești vectori. Se exprimă:

Valoarea unghiului care există între cei doi vectori va depinde dacă sunt paralele sau perpendiculare. Deci, este posibil să se precizeze următoarele:

- Dacă vectorii sunt paraleli și au același sens, sinusul 0º = 0.

- Dacă vectorii sunt paraleli și au direcții opuse, sine 180º = 0.

- Dacă vectorii sunt perpendiculari, sinusul 90º = 1.

Când un produs vectorial este exprimat în termenii vectorilor de bază, avem: