- Derivata ca pantă a liniei tangente la o curbă
- Derivatul ca viteză instantanee a unui obiect în mișcare
- Funcția algebrică
- Reguli de ocolire
- Derivat al unei constante
- Derivat al unei puteri
- Derivat de adunare și scădere
- Derivat dintr-un produs
- Derivat al unui cot
- Regula lanțului
- Referințe
De Derivații algebrice constau în studiul instrumentului derivat în cazul funcțiilor algebrice. Originea noțiunii de derivat datează din Grecia Antică. Dezvoltarea acestei noțiuni a fost motivată de nevoia de a rezolva două probleme importante, una în fizică și cealaltă în matematică.
În fizică, derivatul rezolvă problema determinării vitezei instantanee a unui obiect în mișcare. În matematică, vă permite să găsiți linia tangentă la o curbă la un moment dat.
Deși există cu adevărat multe mai multe probleme care sunt rezolvate prin utilizarea derivatului, precum și generalizările acestuia, rezultate care au apărut după introducerea conceptului său.
Pionierii calculului diferențial sunt Newton și Leibniz. Înainte de a da definiția formală, vom dezvolta ideea din spatele ei, din punct de vedere matematic și fizic.
Derivata ca pantă a liniei tangente la o curbă
Să presupunem că graficul unei funcții y = f (x) este un grafic continuu (fără vârfuri sau vârfuri sau goluri) și lăsați A = (a, f (a)) să fie un punct fix pe ea. Vrem să găsim ecuația tangentei liniei la graficul funcției f din punctul A.
Să luăm orice alt punct P = (x, f (x)) pe grafic, aproape de punctul A și să desenăm linia secantă care trece prin A și P. O linie secantă este o linie care taie graficul unei curbe cu unu sau mai multe puncte.
Pentru a obține linia tangentă pe care o dorim, trebuie doar să calculăm panta deoarece avem deja un punct pe linie: punctul A.
Dacă mutăm punctul P de-a lungul graficului și ne apropiem tot mai mult de punctul A, linia secantă menționată anterior se va apropia de linia tangentă pe care dorim să o găsim. Luând limita când "P tinde spre A", ambele linii vor coincide, de aceea și pantele lor.
Panta liniei secante este dată de
A spune că P se apropie de A este echivalent cu a spune că „x” se apropie de „a”. Astfel, panta liniei tangente la graficul f din punctul A va fi egală cu:
Expresia de mai sus este notată cu f '(a) și este definită drept derivată a unei funcții f la punctul „a”. Prin urmare, vedem că în mod analitic, derivata unei funcții într-un punct este o limită, dar geometric, este panta liniei tangente la graficul funcției din punct.
Acum vom privi această noțiune din punct de vedere al fizicii. Vom ajunge la aceeași expresie a limitei anterioare, deși pe o cale diferită, obținând astfel unanimitatea definiției.
Derivatul ca viteză instantanee a unui obiect în mișcare
Să ne uităm la un scurt exemplu despre ce înseamnă viteza instantanee. Când se spune, de exemplu, că o mașină pentru a ajunge la o destinație a făcut acest lucru cu o viteză de 100 km pe oră, ceea ce înseamnă că într-o oră a parcurs 100 km.
Acest lucru nu înseamnă neapărat că pe parcursul întregii ore mașina a fost întotdeauna 100 km, vitezometrul mașinii ar putea în unele momente să marcheze mai puțin sau mai mult. Dacă aveai nevoie să te oprești la un semafor, viteza ta la acel moment era de 0 km. Cu toate acestea, după o oră, călătoria a fost de 100 km.
Aceasta este ceea ce este cunoscut sub numele de viteză medie și este dat de coeficientul distanței parcurse și timpul scurs, așa cum tocmai am văzut. Viteza instantanee, pe de altă parte, este cea care marchează acul vitezometrului unei mașini la un moment dat (timp).
Să ne uităm acum mai general. Să presupunem că un obiect se mișcă de-a lungul unei linii și că această deplasare este reprezentată de ecuația s = f (t), unde variabila t măsoară timpul și variabila s deplasarea, ținând cont de începutul ei în instant t = 0, moment în care este de asemenea zero, adică f (0) = 0.
Această funcție f (t) este cunoscută drept funcția de poziție.
Se caută o expresie pentru viteza instantanee a obiectului la un moment fix „a”. Cu această viteză o vom denota prin V (a).
Să fie orice moment apropiat de „a” instantaneu. În intervalul de timp dintre „a” și „t”, modificarea poziției obiectului este dată de f (t) -f (a).
Viteza medie în acest interval de timp este:
Ceea ce este o aproximare a vitezei instantanee V (a). Această aproximare va fi mai bună cu cât t se apropie de „a”. Prin urmare,
Rețineți că această expresie este aceeași cu cea obținută în cazul precedent, dar dintr-o perspectivă diferită. Aceasta este ceea ce este cunoscut ca derivat al unei funcții f într-un punct "a" și este notat prin f '(a), așa cum s-a menționat mai sus.
Rețineți că făcând modificarea h = xa, avem atunci când „x” tinde spre „a”, „h” tinde spre 0, iar limita anterioară este transformată (echivalent) în:
Ambele expresii sunt echivalente, dar uneori este mai bine să folosești una în loc de alta, în funcție de caz.
Derivarea unei funcții f în orice punct „x” aparținând domeniului său este definită apoi într-un mod mai general ca
Cea mai comună notație pentru a reprezenta derivata unei funcții y = f (x) este cea pe care tocmai am văzut-o (f 'sau y'). Cu toate acestea, o altă notare pe scară largă este notația lui Leibniz, care este reprezentată ca una dintre următoarele expresii:
Întrucât derivatul este în esență o limită, poate exista sau nu, deoarece limitele nu există întotdeauna. Dacă există, funcția în cauză se spune că poate fi diferențiată la punctul dat.
Funcția algebrică
O funcție algebrică este o combinație de polinomii prin adunare, scădere, produse, coeficienți, puteri și radicali.
Un polinom este o expresie a formei
P n = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + … + a 2 x 2 + a 1 x + a 0
Când n este un număr natural și toate a i , cu i = 0,1, …, n, sunt numere raționale și n ≠ 0. În acest caz, gradul acestui polinom se spune că este n.
Următoarele sunt exemple de funcții algebrice:
Funcțiile exponențiale, logaritmice și trigonometrice nu sunt incluse aici. Regulile de derivare pe care le vom vedea în continuare sunt valabile pentru funcții în general, dar ne vom restrânge și le vom aplica în cazul funcțiilor algebrice.
Reguli de ocolire
Derivat al unei constante
Afirmă că derivata unei constante este zero. Adică dacă f (x) = c, atunci f '(x) = 0. De exemplu, derivata funcției constante 2 este egală cu 0.
Derivat al unei puteri
Dacă f (x) = x n , atunci f '(x) = nx n-1 . De exemplu, derivatul de x 3 este 3x 2 . În consecință, obținem că derivata funcției de identitate f (x) = x este f '(x) = 1x 1-1 = x 0 = 1.
Un alt exemplu este următoarea: să f (x) = 1 / x 2 , apoi f (x) = x -2 și f „(x) = - 2x -2-1 = -2x -3 .
Această proprietate este, de asemenea, rădăcini valabile, deoarece rădăcinile sunt puteri raționale, iar cele de mai sus pot fi aplicate și în acest caz. De exemplu, derivata unei rădăcini pătrate este dată de
Derivat de adunare și scădere
Dacă f și g sunt funcții diferențiale în x, atunci suma f + g este, de asemenea, diferențiată și este convins că (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).
În mod similar, avem că (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). Cu alte cuvinte, derivatul unei sume (scăderi) este suma (sau scăderea) derivatelor.
Exemplu
Dacă h (x) = x 2 + x-1, atunci
h '(x) = (x 2 ) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.
Derivat dintr-un produs
Dacă f și g sunt funcții diferențiale în x, atunci produsul fg este, de asemenea, diferențiat în x și este adevărat că
(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).
În consecință, rezultă că dacă c este o constantă și f este o funcție diferențiată în x, atunci cf este, de asemenea, diferențiat în x și (cf) '(x) = cf' (X).
Exemplu
Dacă f (x) = 3x (x 2 +1), atunci
f '(x) = (3x)' (x 2 +1) + (3x) (x 2 +1) '= 3 (x)' (x 2 +1) + 3x
= 3 (1) (x 2 +1) + 3x = 3 (x 2 +1) + 3x (2x) = 3x 2 + 3 + 6x 2
= 9x 2 +3.
Derivat al unui cot
Dacă f și g se diferențiază la x și g (x) ≠ 0, atunci f / g este, de asemenea, diferențiat la x, și este adevărat că
Exemplu: dacă h (x) = x 3 / (x 2 -5x), atunci
h '(x) = / (x 5 -5x) 2 = / (x 5 -5x) 2 .
Regula lanțului
Această regulă permite derivarea compoziției funcțiilor. Se menționează următoarele: dacă y = f (u) este diferențiată la u, yu = g (x) este diferențiată la x, atunci funcția compusă f (g (x)) este diferențiată la x și este adevărat că '= f '(g (x)) g' (x).
Adică, derivatul unei funcții compuse este produsul derivatului funcției externe (derivat extern) și derivat al funcției interne (derivat intern).
Exemplu
Dacă f (x) = (x 4 -2x) 3 , atunci
f '(x) = 3 (x 4 -2x) 2 (x 4 -2x)' = 3 (x 4 -2x) 2 (4x 3 -2).
Există, de asemenea, rezultate pentru calcularea derivatului inversului unei funcții, precum și generalizarea la derivate de ordin superior. Aplicațiile sunt extinse. Dintre acestea, iese în evidență utilitatea sa în problemele de optimizare și funcțiile maxime și minime.
Referințe
- Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Calcul diferențial. ITM.
- Cabrera, VM (1997). Calcul 4000. Editorial Progreso.
- Castaño, HF (2005). Matematică înainte de calcul. Universitatea din Medellin.
- Eduardo, NA (2003). Introducere în calcul. Ediții de prag.
- Fuentes, A. (2016). MATH DE BAZĂ. O introducere în calcul. Lulu.com.
- Purcell, EJ, Rigdon, SE, & Varberg, DE (2007). Calcul. Pearson Education.
- Saenz, J. (2005). Calcul diferențial (ediția a doua). Barquisimeto: Hipotenuză.
- Thomas, GB, & Weir, MD (2006). Calcul: mai multe variabile. Pearson Education.