VARIANȚĂ: FORMULĂ ȘI ECUAȚII, EXEMPLE, EXERCIȚIU - DUDAS - 2025

Quasivariance , varianța quasi sau varianța imparțială este o măsură statistică a dispersiei datelor eșantionului în raport cu media. La rândul său, eșantionul constă dintr-o serie de date prelevate dintr-un univers mai mare, numit populație.

Este notat în mai multe moduri, aici s _c ² a fost aleasă și următoarea formulă este utilizată pentru a calcula:

Figura 1. Definiția cvasi-varianței. Sursa: F. Zapata.

Unde:

Cvasi-varianța este similară cu varianța s ² , cu singura diferență că numitorul variației este n-1, în timp ce variația este împărțită numai la n. Este evident că atunci când n este foarte mare, valorile ambelor tind să fie aceleași.

Când cunoașteți valoarea cvasi-varianței, puteți ști imediat valoarea variației.

Exemple de cvasi-varianță

Deseori doriți să cunoașteți caracteristicile oricărei populații: oameni, animale, plante și, în general, orice tip de obiect. Dar analizarea întregii populații poate să nu fie o sarcină ușoară, mai ales dacă numărul de elemente este foarte mare.

Sunt apoi prelevate probe, în speranța că comportamentul lor reflectă cel al populației și astfel să poată face inferențe despre aceasta, datorită căreia resursele sunt optimizate. Aceasta este cunoscută sub denumirea de inferență statistică.

Iată câteva exemple în care cvasi-varianța și abaterea cvasi-standard asociată servesc ca indicator statistic prin indicarea cât de departe sunt rezultatele obținute de la media.

1.- Directorul de marketing al unei companii care produce baterii auto trebuie să estimeze, în câteva luni, durata de viață medie a bateriei.

Pentru a face acest lucru, el selectează la întâmplare un eșantion de 100 de baterii achiziționate ale acestei mărci. Compania ține o evidență a detaliilor cumpărătorilor și le poate intervi pentru a afla cât durează bateriile.

Figura 2. Variatia cvasi-utilă este utilă pentru efectuarea inferențelor și controlul calității. Sursa: Pixabay.

2.- Conducerea academică a unei instituții universitare trebuie să estimeze înscrierea anului următor, analizând numărul de studenți care sunt așteptați să treacă materiile pe care le studiază în prezent.

De exemplu, din fiecare secțiune care ocupă în prezent Fizica I, conducerea poate selecta un eșantion de studenți și să analizeze performanța lor în catedra respectivă. În acest fel, puteți deduce câți studenți vor lua Fizica II în perioada următoare.

3.- Un grup de astronomi își concentrează atenția asupra unei părți a cerului, unde se observă un anumit număr de stele cu anumite caracteristici: dimensiunea, masa și temperatura, de exemplu.

Unul se întreabă dacă stelele dintr-o altă regiune similară vor avea aceleași caracteristici, chiar și stele din alte galaxii, cum ar fi Norii Magellanici vecini sau Andromeda.

De ce să se împartă cu n-1?

În quasivarianță, acesta este împărțit la n-1 în loc de n și se datorează faptului că cvasivariatul este un estimator imparțial, așa cum s-a spus la început.

Se întâmplă că din aceeași populație este posibilă extragerea multor probe. Varianța fiecăruia dintre aceste probe poate fi, de asemenea, medie, dar media acestor variații nu se dovedește a fi egală cu variația populației.

De fapt, media variațiilor probă tinde să subestimeze variația populației, cu excepția cazului în care n-1 este utilizat în numitor. Se poate verifica că valoarea scontată a cvasi-varianței E (s _c ² ) este exact s ² .

Din acest motiv, se spune că cvasivariata este imparțială și este un estimator mai bun al variației populației ² .

Modalitate alternativă de a calcula interzicerea

Se arată cu ușurință că interzicerea poate fi calculată astfel:

s _c ² = -

Scorul standard

Având deviația eșantionului, putem spune câte abateri standard are o anumită valoare x, fie peste sau sub medie.

Pentru aceasta, se utilizează următoarea expresie fără dimensiuni:

Scorul standard = (x - X) / s _c

Exercițiu rezolvat

863 903 957 1041 1138 1204 1354 1624 1698 1745 1802 1883

a) Folosiți definiția de quasivarianță dată la început și verificați, de asemenea, rezultatul folosind formularul alternativ dat în secțiunea precedentă.

b) Calculați scorul standard al celei de-a doua informații, citind de sus în jos.

Solutie la

Problema poate fi rezolvată de mână cu ajutorul unui calculator simplu sau științific, pentru care este necesar să procedăm în ordine. Și pentru aceasta, nimic mai bun decât organizarea datelor într-un tabel precum cel prezentat mai jos:

Mulțumită tabelului, informațiile sunt organizate, iar cantitățile care vor fi necesare în formule sunt la sfârșitul coloanelor respective, gata de utilizare imediată. Rezumările sunt indicate cu caractere aldine.

Coloana medie se repetă întotdeauna, dar merită, deoarece este convenabil să aveți valoarea la vedere, să completați fiecare rând al tabelului.

În sfârșit, se aplică ecuația pentru cvasivariate date la început, se înlocuiesc doar valorile și, în ceea ce privește însumarea, deja o calculăm:

s _c ² = 1.593.770 / (12-1) = 1.593.770 / 11 = 144.888,2

Aceasta este valoarea quasivariatei și unitățile sale sunt „dolari pătrați”, ceea ce nu are prea mult sens practic, astfel încât se calculează abaterea cvasi-standard a eșantionului, care nu este altceva decât rădăcina pătrată a cvasivariatei:

s _c = (√ 144.888.2) $ = 380.64 USD

Se confirmă imediat că această valoare se obține și cu forma alternativă de cvasi-varianță. Suma necesară se află la sfârșitul ultimei coloane din stânga:

s _c ² = - = -

= 2.136.016,55 - 1.991.128,36 = 144.888 dolari pătrați

Este aceeași valoare obținută cu formula dată la început.

Soluție b

A doua valoare de sus în jos este 903, scorul său standard este

Scorul standard de 903 = (x - X) / s _c = (903 - 1351) /380.64 = -1.177

Referințe

1. Canavos, G. 1988. Probabilitate și statistici: aplicații și metode. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Probabilitatea și statisticile pentru inginerie și știință. 8-a. Ediție. Cengage.
3. Levin, R. 1988. Statistici pentru administratori. 2a. Ediție. Sala Prentice.
4. Măsuri de dispersie. Recuperat din: thales.cica.es.
5. Walpole, R. 2007. Probabilitatea și statisticile pentru inginerie și științe. Pearson.