COORDONATE SFERICE: EXEMPLE ȘI EXERCIȚII REZOLVATE - MATEMATICA - 2025

Cele coordonate sferice sunt un set de puncte de locație în spațiu tridimensional constând dintr - o coordonata radială și două coordonate unghiulare numite coordonate polare și coordonate azimutală.

Figura 1, pe care o vedem mai jos, arată coordonatele sferice (r, θ, φ) ale unui punct M. Aceste coordonate sunt referite la un sistem ortogonal al axelor carteziene X, Y, Z de origine O.

Figura 1. Coordonatele sferice (r, θ, φ) ale unui punct M. (comuniile Wikimedia)

În acest caz, coordonata r a punctului M este distanța de la acel punct la originea O. Coordonata polară θ reprezintă unghiul dintre semi-axa pozitivă Z și vectorul de rază OM. În timp ce coordonata azimutală φ este unghiul dintre semi-axa X pozitivă și vectorul de rază OM ', unde M' este proiecția ortogonală a lui M pe planul XY.

Coordonata radială r ia doar valori pozitive, dar dacă un punct este situat la origine, atunci r = 0. Coordonata polară θ are ca valoare minimă 0º pentru punctele situate pe semi-axa Z pozitivă, iar valoarea maximă 180º pentru puncte este situată pe semi-axa Z negativă.În final, coordonata azimutală φ ia ca valoare minimă 0º și o ridicare maximă de 360º.

0 ≤ r <∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ <360º

Schimbarea coordonatelor

Formulele care permit obținerea coordonatelor carteziene (x, y, z) ale unui punct M vor fi prezentate mai jos, presupunând că coordonatele sferice ale aceluiași punct (r, θ, φ) sunt cunoscute:

x = r Sen (θ) Cos (φ)

y = r Sen (θ) Sen (φ)

z = r Cos (θ)

În același mod, este util să găsim relațiile pentru a pleca de la coordonatele carteziene (x, y, z) ale unui punct dat la coordonatele sferice ale punctului menționat:

r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = Arctan (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = Arctan (y / x)

Baza vectorială în coordonate sferice

Din coordonatele sferice se definește o bază ortonormală a vectorilor de bază, care sunt notate de Ur , Uθ , Uφ . În figura 1 sunt arătați acești trei vectori de unități, care au următoarele caracteristici:

- Ur este vectorul unitar tangent la linia radială θ = ctte și φ = ctte;

- Uθ este vectorul unitar tangent la arcul φ = ctte și r = ctte;

- Uφ este vectorul unitar tangent la arcul r = ctte și θ = ctte.

Elemente de linie și volum în coordonate sferice

Vectorul de poziție al unui punct din spațiu în coordonate sferice este scris astfel:

r = r Ur

Dar o variație infinitesimală sau deplasarea unui punct în spațiul tridimensional, în aceste coordonate, este exprimată prin următoarea relație vectorială:

d r = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) d φ Uφ

În cele din urmă, un volum infinitim de dV în coordonate sferice este scris astfel:

dV = r ^ 2 Sen (θ) dr dθ dφ

Aceste relații sunt foarte utile pentru calcularea integralelor de linii și volum în situații fizice care au simetrie sferică.

Relația cu coordonatele geografice

Se înțelege că coordonatele geografice sunt cele care servesc la localizarea locurilor de pe suprafața pământului. Acest sistem folosește coordonatele latitudinii și longitudinii pentru a localiza poziția pe suprafața Pământului.

În sistemul de coordonate geografice, se presupune că suprafața pământului este sferică cu raza Rt, chiar dacă se știe că este aplatizată la poli și se consideră un set de linii imaginare numite paralele și meridiane.

Figura 2. Longitudine α și latitudinea β a unui observator pe suprafața pământului.

Latitudinea β este un unghi format dintr-o rază care pornește de la centrul Pământului până la punctul pe care doriți să îl poziționați. Se măsoară din planul ecuatorial, așa cum se arată în figura 2. Pe de altă parte, longitudina α este unghiul pe care îl formează meridianul punctului localizat față de meridianul zero (cunoscut sub numele de meridianul Greenwich).

Latitudinea poate fi latitudine nordică sau sudică, în funcție de locul în care localizați se află în emisfera nordică sau în emisfera sudică. În mod similar, longitudinea poate fi spre vest sau est, în funcție de dacă locația este spre vest sau est de meridianul zero.

Formule de schimbare de la geografice la sferice

Pentru a obține aceste formule, primul lucru este stabilirea unui sistem de coordonate. Planul XY este ales să coincidă cu planul ecuatorial, semi-axa X pozitivă fiind cea care pleacă din centrul Pământului și trece prin meridianul zero. La rândul său, axa Y trece prin meridianul de 90 ° E. Suprafața pământului are o rază Rt.

Cu acest sistem de coordonate, transformările de la geografic la sferice arată astfel:

αEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)

αOβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αEβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = α)

αOβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α)

Exemple

Exemplul 1

Coordonatele geografice ale Palma de Mallorca (Spania) sunt:

Longitudine est 38.847º și latitudine nord 39.570º. Pentru a determina coordonatele sferice corespunzătoare Palma de Mallorca, se aplică prima dintre formulele formulelor din secțiunea anterioară:

38,847ºE39,570ºN → (r = 6371 km, θ = 90º-39,570º, φ = 38,847º)

Deci, coordonatele sferice sunt:

Palma de Mallorca: (r = 6371 km, θ = 50,43º, φ = 38,85º)

În răspunsul anterior r a fost luată egală cu raza medie a Pământului.

Exemplul 2

Știind că insulele Malvinas (Falkland) au coordonate geografice de 59ºO 51.75ºS, determinați coordonatele polare corespunzătoare. Amintiți-vă că axa X merge de la centrul Pământului la meridianul 0º și pe planul ecuatorial; axa Y, de asemenea, în plan ecuatorial și care trece prin meridianul 90 ° Vest; în sfârșit axa Z pe axa de rotație a Pământului în direcția Sud-Nord.

Pentru a găsi apoi coordonatele sferice corespunzătoare, folosim formulele prezentate în secțiunea anterioară:

59ºO 51.75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º + 51,75º, φ = 360º-59º) adică

Malvinele: (r = 6371 km, θ = 141,75º, φ = 301º)

Exerciții

Exercitiul 1

Găsiți coordonatele carteziene ale Palma de Mallorca în sistemul de referință cartezian XYZ prezentat în figura 2.

Soluție: Anterior, în exemplul 1, coordonatele sferice au fost obținute pornind de la coordonatele geografice ale Palma de Mallorca. Deci, formulele prezentate mai sus pot fi folosite pentru a trece de la sferic la cartezian:

x = 6371 km Sen (50,43º) Cos (38,85º)

y = 6371 km Sen (50,43º) Sen (38,85º)

z = 6371 km Cos (50,43º)

Efectuând calculele corespunzătoare avem:

Palma de Mallorca: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)

Exercițiul 2

Găsiți coordonatele carteziene ale Insulelor Falkland în sistemul de referință cartezian XYZ prezentat în figura 2.

Soluție: Anterior, în exemplul 2, au fost obținute coordonatele sferice pornind de la coordonatele geografice ale Insulelor Malvinas. Deci, formulele prezentate mai sus pot fi folosite pentru a trece de la sferic la cartezian:

x = 6371 km Sen (141,75º) Cos (301º)

y = 6371 km Sen (141,75º) Sen (301º)

z = 6371 km Cos (141,75º)

Efectuând calculele corespunzătoare, obținem:

Insulele Falkland: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

Referințe

1. Arfken G și Weber H. (2012). Metode matematice pentru fizicieni. Un ghid cuprinzător. Ediția a VII-a. Presă academică. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Calcul cc. S-au rezolvat problemele coordonatelor cilindrice și sferice. Recuperat din: calculo.cc
3. Atelier de astronomie. Latitudine și longitudine. Recuperat de la: tarifamates.blogspot.com/
4. Weisstein, Eric W. „Coordonate sferice”. De la WebWorld-A Wolfram. Recuperat de la: mathworld.wolfram.com
5. wikipedia. Sistem de coordonate sferice. Recuperat din: en.wikipedia.com
6. wikipedia. Campuri vectoriale în coordonate cilindrice și sferice. Recuperat din: en.wikipedia.com