CONSTANTA DE INTEGRARE: SENS, CALCUL ȘI EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

Constantă de integrare este o valoare adăugată la calculul antiderivatives sau integralelor, aceasta servește pentru a reprezenta soluțiile care alcătuiesc primitivei unei funcții. Ea exprimă o ambiguitate inerentă în care orice funcție are un număr infinit de primitive.

De exemplu, dacă luăm funcția: f (x) = 2x + 1 și obținem antiderivativul său:

∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C ; Unde C este constanta integrării și reprezintă grafic translația verticală dintre infinitele posibilități ale primitivului. Este corect să spunem că (x ² + x) este una dintre primitivele lui f (x).

Sursa: autor

În mod similar, putem defini (x ² + x + C ) ca primitivă a lui f (x).

Proprietate inversă

Se poate remarca faptul că atunci când se derivă expresia (x ² + x) se obține funcția f (x) = 2x + 1. Aceasta se datorează proprietății inverse existente între derivarea și integrarea funcțiilor. Această proprietate permite obținerea de formule de integrare pornind de la diferențiere. Ceea ce permite verificarea integralelor prin aceleași derivate.

Sursa: autor

Cu toate acestea (x ² + x) nu este singura funcție a cărei derivată este egală cu (2x + 1).

1. d (x ² + x) / dx = 2x + 1
2. d (x ² + x + 1) / dx = 2x + 1
3. d (x ² + x + 2) / dx = 2x + 1
4. d (x ² + x + 3) / dx = 2x + 1
5. d (x ² + x + C ) / dx = 2x + 1

Unde 1, 2, 3 și 4 reprezintă primitive particulare ale f (x) = 2x + 1. În timp ce 5 reprezintă integrala nedeterminată sau primitivă a f (x) = 2x + 1.

Sursa: autor

Primitivitățile unei funcții sunt obținute prin procesul antiderivare sau integral. În cazul în care F va fi o primitivă a lui f dacă următoarele sunt adevărate

• y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = constantă de integrare
• F '(x) = f (x)

Se poate observa că o funcție are un singur derivat, spre deosebire de infinitele sale primitive rezultate din integrare.

Integrala nedeterminată

∫ f (x) dx = F (x) + C

Corespunde unei familii de curbe cu același tipar, care prezintă incongruență în valoarea imaginilor fiecărui punct (x, y). Fiecare funcție care îndeplinește acest tipar va fi o primitivă individuală și setul de funcții este cunoscut sub numele de integrală nedeterminată.

Valoarea constantei de integrare va fi cea care diferențiază fiecare funcție în practică.

Constantă de integrare sugerează o schimbare verticală în toate graficele reprezentând primitivii ale unei funcții. Acolo unde se observă paralelismul dintre ele și faptul că C este valoarea deplasării.

Conform practicilor obișnuite, constanta de integrare este notată cu litera "C" după un adaos, deși în practică nu contează dacă constanta este adăugată sau scăzută. Valoarea sa reală poate fi găsită în diferite moduri în diferite condiții inițiale .

Alte semnificații ale constantei integrării

S-a discutat deja despre cum se aplică constanta integrării în ramura calculului integral ; Reprezentând o familie de curbe care definesc integrala nedeterminată. Dar multe alte științe și ramuri au atribuit valori foarte interesante și practice ale constantei integrării, care au facilitat dezvoltarea mai multor studii.

În fizică , constanta integrării poate lua valori multiple în funcție de natura datelor. Un exemplu foarte obișnuit este cunoașterea funcției V (t) care reprezintă viteza unei particule față de timpul t. Se știe că atunci când se calculează o primitivă a lui V ( t) se obține funcția R (t) care reprezintă poziția particulei față de timp.

Constantă de integrare va reprezenta valoarea poziției inițiale, adică la momentul t = 0.

În același mod, dacă este cunoscută funcția A (t) care reprezintă accelerația particulei față de timp. Primitivul lui A (t) va avea ca rezultat funcția V (t), unde constanta de integrare va fi valoarea vitezei inițiale V ₀ .

În economie , prin obținerea prin integrare a primitivității unei funcții de cost. Constantă de integrare va reprezenta costurile fixe. Și multe alte aplicații care merită calcul diferențial și integral.

Cum se calculează constanta integrării?

Pentru a calcula constanta de integrare, va fi întotdeauna necesar să cunoaștem condițiile inițiale . Care sunt însărcinate să definească care dintre primitivele posibile este cea corespunzătoare.

În multe aplicații este tratată ca o variabilă independentă la timp (t), unde constanta C ia valorile care definesc condițiile inițiale ale cazului particular.

Dacă luăm exemplul inițial: ∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C

O condiție inițială valabilă poate fi condiția ca graficul să treacă printr-o coordonată specifică. De exemplu, știm că primitivul (x ² + x + C) trece prin punctul (1, 2)

F (x) = x ² + x + C; aceasta este soluția generală

F (1) = 2

Înlocuim soluția generală în această egalitate

F (1) = (1) ² + (1) + C = 2

De unde rezultă cu ușurință că C = 0

În acest fel, primitivul corespunzător pentru acest caz este F (x) = x ² + x

Există mai multe tipuri de exerciții numerice care funcționează cu constante de integrare . De fapt, calculul diferențial și integral nu încetează să fie aplicat în investigațiile curente. La diferite niveluri academice pot fi găsite; de la calculul inițial, prin fizică, chimie, biologie, economie, printre altele.

De asemenea, se apreciază în studiul ecuațiilor diferențiale , în care constanta de integrare poate lua valori și soluții diferite, asta datorită derivărilor și integrărilor multiple care se realizează în această materie.

Exemple

Exemplul 1

1. Un tun situat la 30 de metri înălțime trage un proiectil vertical în sus. Viteza inițială a proiectilului este cunoscută a fi 25 m / s. Decide:

• Funcția care definește poziția proiectilului în raport cu timpul.
• Timpul de zbor sau instantaneu de timp când particula lovește pământul.

Se știe că într-o mișcare rectilinie variată uniform, accelerația este o valoare constantă. Acesta este cazul lansării proiectilului, în care accelerația va fi gravitațională

g = - 10 m / s ²

Se știe, de asemenea, că accelerația este a doua derivată a poziției, ceea ce indică o dublă integrare în rezoluția exercițiului, obținând astfel două constante de integrare.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

Condițiile inițiale ale exercițiului indică faptul că viteza inițială este V ₀ = 25 m / s. Aceasta este viteza în momentul de timp t = 0. În acest fel, este convins că:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ și C ₁ = 25

Cu funcția de viteză definită

V (t) = -10t + 25; Asemănarea poate fi observată cu formula MRUV (V _f = V ₀ + axt)

Într-un mod omolog, procedăm la integrarea funcției vitezei pentru a obține expresia care definește poziția:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t ² + 25t + C ₂

R (t) = -5t ² + 25t + C ₂ (poziție primitivă)

Poziția inițială R (0) = 30 m este cunoscută. Atunci se calculează primitivul particular al proiectilului.

R (0) = 30m = -5 (0) ² + 25 (0) + C ₂ . În cazul în care C ₂ = 30

Exemplul 2

1. Găsiți primitivul f (x) care îndeplinește condițiile inițiale:

• f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

Cu informațiile celui de-al doilea derivat f '' (x) = 4 începe procesul de antiderivare

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

Apoi, cunoscând condiția f '(2) = 2, procedăm:

4 (2) + C ₁ = 2

C ₁ = -6 și f „(x) = 4x - 8

Procedăm în același mod pentru a doua constantă de integrare

f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x ² - 8x + C ₂

Condiția inițială f (0) = 7 este cunoscută și procedăm:

2 (0) ² - 8 (0) + C ₂ = 7

C ₂ = 7 și f (x) = 2x ² - 8x + 7

• f '' (x) = x ² ; f '(0) = 6; f (0) = 3

În mod similar cu problema anterioară, definim primele derivate și funcția inițială din condițiile inițiale.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (x ² ) dx = (x cu ³ /3) , + C ₁

Cu condiția f '(0) = 6 procedăm:

(0 ^3/3 ) + C ₁ = 6; În cazul în care C ₁ = 6 și f „(x) = (x cu ³ /3) , + 6

Apoi a doua constantă de integrare

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ dx = (x cu ⁴ /12) + 6x + C ₂

Condiția inițială f (0) = 3 este cunoscută și procedăm:

+ 6 (0) + C ₂ = 3; În cazul în care C ₂ = 3

Astfel obținem particularul primitiv

f (x) = (x cu ⁴ /12) + 6x + 3

Exemplul 3

1. Definiți funcțiile primitive date derivate și un punct din grafic:

• dy / dx = 2x - 2 care trece prin punctul (3, 2)

Este important să ne amintim că derivatele se referă la panta liniei tangente la curba la un moment dat. În cazul în care nu este corect să presupunem că graficul derivatului atinge punctul indicat, deoarece acesta aparține graficului funcției primitive.

În acest fel, exprimăm ecuația diferențială după cum urmează:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

Aplicarea condiției inițiale:

2 = (3) ² - 2 (3) + C

C = -1

Se obține: f (x) = x ² - 2x - 1

• dy / dx = 3x ² - 1 care trece prin punctul (0, 2)

Exprimăm ecuația diferențială după cum urmează:

Aplicarea condiției inițiale:

2 = (0) ² - 2 (0) + C

C = 2

Obținem: f (x) = x ³ - x + 2

Exerciții propuse

Exercitiul 1

1. Găsiți primitivul f (x) care îndeplinește condițiile inițiale:

• f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
• f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
• f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
• f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

Exercițiul 2

1. Un balon care urcă la o viteză de 16 ft / s aruncă o pungă de nisip de la o înălțime de 64 ft deasupra nivelului solului.

• Definiți ora zborului
• Ce va fi vectorul V _f când va lovi pământul?

Exercițiul 3

1. Figura arată graficul de accelerație-timp al unei mașini care se deplasează pe direcția pozitivă a axei x. Mașina circula cu o viteză constantă de 54 km / h când șoferul a aplicat frânele pentru a opri în 10 secunde. A determina:

• Accelerația inițială a mașinii
• Viteza mașinii la t = 5s
• Deplasarea mașinii în timpul frânării

Sursa: autor

Exercițiul 4

1. Definiți funcțiile primitive date derivate și un punct din grafic:

• dy / dx = x care trece prin punctul (-1, 4)
• dy / dx = -x ² + 1 care trece prin punctul (0, 0)
• dy / dx = -x + 1 care trece prin punctul (-2, 2)

Referințe

1. Calcul integral. Integrare nedeterminată și metode de integrare. Wilson, Velásquez Bastidas. Universitatea Magdalena 2014
2. Stewart, J. (2001). Calcularea unei variabile. Transcendentalii timpurii. Mexic: Învățarea Thomson.
3. Jiménez, R. (2011). Matematica VI. Calcul integral. Mexic: Pearson Education.
4. Fizică I. Dealul Mc Graw