SET FINIT: PROPRIETĂȚI, EXEMPLE, EXERCIȚII REZOLVATE - MATEMATICA

Un set finit se înțelege a fi orice set cu un număr limitat sau numărabil de elemente. Exemple de seturi finite sunt marmura care este conținută într-o pungă, setul de case dintr-un cartier sau setul P format din primele douăzeci (20) de numere naturale:

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

Setul de stele din univers este cu siguranță imens, dar nu se știe sigur dacă este finit sau infinit. Totuși, setul de planete din sistemul solar este finit.

Figura 1. Setul de poligoane este finit și subsetul celor obișnuite. (Wikimedia Commons)

Numărul de elemente dintr-un set finit se numește cardinalitate și pentru setul P se notează astfel: Card ( P ) sau # P. Setul gol are cardinalitate zero și este considerat un set finit.

Proprietăți

Printre proprietățile seturilor finite se numără următoarele:

1- Unirea seturilor finite dă naștere unui nou set finit.

2- Dacă două seturi finite se intersectează, va rezulta un nou set finit.

3- Un subset al unui set finit este finit, iar cardinalitatea acestuia este mai mică sau egală cu cea a setului inițial.

4- Setul gol este un set finit.

Exemple

Există multe exemple de seturi finite. Câteva exemple includ următoarele:

Setul M al lunilor anului, care în formă extinsă poate fi scris astfel:

M = {ianuarie, februarie, martie, aprilie, mai, iunie, iulie, august, septembrie, octombrie, noiembrie, decembrie}, cardinalitatea lui M este 12.

Setul S din zilele săptămânii: S = {Luni, marți, miercuri, joi, vineri, sâmbătă, duminică}. Cardinalitatea lui S este 7.

Setul Ñ al literelor alfabetului spaniol este un set finit, acest set prin extensie este scris astfel:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} iar cardinalitatea sa este 27.

Setul V al vocalelor în spaniolă este un subset al mulțimii Ñ:

Prin urmare, V ⊂ Ñ este un set finit.

Setul finit V în formă extinsă este scris astfel: V = {a, e, i, o, u}, iar cardinalitatea sa este 5.

Seturile pot fi exprimate prin înțelegere. Setul F alcătuit din literele cuvântului „finit” este un exemplu:

F = {x / x este o literă a cuvântului „finit”}

Setul exprimat într-o formă extinsă va fi:

F = {f, i, n, t, o} a căror cardinalitate este 5 și, prin urmare, este un set finit.

Mai multe exemple

Culorile curcubeului este un alt exemplu de set finit, setul C al acestor culori este:

C = {roșu, portocaliu, galben, verde, cian, albastru, violet}, iar cardinalitatea sa este de 7.

Setul de faze F al Lunii este un alt exemplu de set finit:

F = {Luna nouă, primul sfert, luna plină, ultimul trimestru} acest set are cardinalitatea 4.

Figura 2. Planetele sistemului solar formează un set finit. (Pixabay)

Un alt set finit este cel format de planetele sistemului solar:

P = {Mercur, Venus, Pământ, Marte, Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun, Pluton} al cardinalității 9.

Exerciții rezolvate

Exercitiul 1

Următorul set A = {x∊ R / x ^ 3 = 27} este dat. Exprimați-l în cuvinte și scrieți-l prin extensie, indicați cardinalitatea acestuia și spuneți dacă este sau nu finit.

Soluție: Setul A este mulțimea numerelor reale x astfel încât x cubate ca rezultat 27.

Ecuația x ^ 3 = 27 are trei soluții: sunt x1 = 3, x2 = (-3/2 + 3√3 / 2 i) și x3 = (-3/2 - 3√3 / 2 i). Dintre cele trei soluții, doar x1 este reală, în timp ce celelalte două sunt numere complexe.

Deoarece definiția mulțimii A spune că x aparține numerelor reale, atunci soluțiile pentru numerele complexe nu fac parte din mulțimea A.

Ansamblul A exprimat pe larg este:

A = {3}, care este un set finit de cardinalitate 1.

Exercițiul 2

Scrieți în formă simbolică (prin înțelegere) și în formă extinsă mulțimea B de numere reale care sunt mai mari decât 0 (zero) și mai mici sau egale cu 0 (zero). Indicați cardinalitatea acesteia și dacă este sau nu finit.

Soluție: B = {x∊ R / 0 <x <= 0}

Setul B este gol, deoarece un număr real x nu poate fi simultan mai mare și mai mic decât zero, la fel cum nu poate fi 0 și, de asemenea, mai mic decât 0.

B = {} iar cardinalitatea sa este 0. Setul gol este un set finit.

Exercițiul 3

Setul S al soluțiilor unei anumite ecuații este dat. Setul S prin înțelegere este scris astfel:

S = {x∊ R / (x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0}

Scrieți setul menționat într-o formă extinsă, indicați cardinalitatea acestuia și indicați dacă este sau nu un set finit.

Soluție: În primul rând, atunci când analizăm expresia care descrie setul S, se obține că este un set de valori reale x care sunt soluții ale ecuației:

(x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0 (*)

O soluție a acestei ecuații este x = 3, care este un număr real și, prin urmare, aparține de S. Dar există mai multe soluții care pot fi obținute căutând soluțiile ecuației patratice:

(x ^ 2 - 9x + 20) = 0

Expresia de mai sus poate fi considerată astfel:

(x - 4) (x - 5) = 0

Ceea ce ne conduce la alte două soluții ale ecuației originale (*) care sunt x = 4 și x = 5. Pe scurt, ecuația (*) are ca soluții 3, 4 și 5.

Setul S exprimat în formă extinsă arată astfel:

S = {3, 4, 5}, care are cardinalitatea 3 și, prin urmare, este un set finit.

Exercițiul 4

Există două mulțimi A = {1, 5, 7, 9, 11} și B = {x ∊ N / x este chiar ^ x <10}.

Scrieți setul B în mod explicit și găsiți unirea cu mulțimea A. Găsiți, de asemenea, interceptarea acestor două mulțimi și încheiați.

Soluție: mulțimea B este alcătuită din numere naturale, astfel încât acestea sunt uniforme și sunt, de asemenea, mai mici decât valoarea 10, prin urmare, în setul B extins, se scrie astfel:

B = {2, 4, 6, 8}

Uniunea mulțimii A cu setul B este:

AUB = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11}

iar interceptarea setului A cu setul B este scrisă astfel:

A ⋂ B = {} = Ø este setul gol.

Trebuie menționat că unirea și interceptarea acestor două seturi finite duc la noi seturi, care la rândul lor sunt și finite.

Referințe

Fuentes, A. (2016). MATH DE BAZĂ. O introducere în calcul. Lulu.com.
Garo, M. (2014). Matematică: ecuații patratice: Cum rezolvați o ecuație patratică. Marilù Garo.
Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematică pentru management și economie. Pearson Education.
Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematică 1 SEP. Prag.
Preciado, CT (2005). Curs de matematica a 3-a. Editorial Progreso.
Matematica 10 (2018). „Exemple de seturi finite”. Recuperat de la: matematicas10.net
Rock, NM (2006). Algebra I este ușor! Atât de ușor. Echipa Rock Press.
Sullivan, J. (2006). Algebră și trigonometrie. Pearson Education.
Wikipedia. Set finit. Recuperat din: es.wikipedia.com

SET FINIT: PROPRIETĂȚI, EXEMPLE, EXERCIȚII REZOLVATE - MATEMATICA - 2025