CONGRUENȚĂ: CIFRE CONGRUENTE, CRITERII, EXEMPLE, EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

Congruența în geometrie spune că , dacă cele două figuri plane au aceeași formă și dimensiuni, acestea sunt congruente. De exemplu, două segmente sunt congruente atunci când lungimile lor sunt egale. La fel, unghiurile congruente au aceeași măsură, chiar dacă nu sunt orientate în același mod în plan.

Termenul „congruență” provine din latinescul congruentia, al cărui sens este corespondența. Astfel, două figuri congruente corespund exact una cu cealaltă.

Figura 1. Quadrilateralele ABCD și A'B'C'D din figură sunt congruente: laturile lor au aceeași măsură, la fel ca și unghiurile lor interne. Sursa: F. Zapata.

De exemplu, dacă suprapunem cele două patrulatere din imagine, vom descoperi că sunt congruente, întrucât dispunerea laturilor lor este identică și măsoară la fel.

Prin plasarea patrulaterilor ABCD și A'B'C'D 'una peste alta, cifrele se vor potrivi exact. Părțile coincidente se numesc laturi omologe sau corespunzătoare și simbolul ≡ este utilizat pentru a exprima congruența. Deci putem spune că ABCD ≡ A'B'C'D '.

Criterii de congruență

Următoarele caracteristici sunt comune poligoanelor congruente:

-Aceeași formă și dimensiune.

-Măsurători identice ale unghiurilor lor.

-Aceeași măsură pe fiecare dintre părțile sale.

În cazul în care două poligoane în cauză sunt regulate, adică toate părțile și unghiurile interne măsoară același lucru, congruența este asigurată atunci când sunt îndeplinite oricare dintre următoarele condiții:

-Patele sunt congruente

-Proteticile au aceeași măsură

-Rama de fiecare poligon măsoară la fel

Apotemul unui poligon regulat este distanța dintre centru și una dintre laturi, în timp ce raza corespunde distanței dintre centru și un vertex sau colțul figurii.

Criteriile de congruență sunt utilizate frecvent, deoarece atât de multe piese și piese de tot felul sunt produse în masă și trebuie să aibă aceeași formă și măsurători. În acest fel, ele pot fi înlocuite cu ușurință atunci când este necesar, de exemplu piulițe, șuruburi, foi sau pietre de pavaj pe pământ din stradă.

Figura 2. Pietrele de pavaj ale străzii sunt figuri congruente, deoarece forma și dimensiunile lor sunt exact aceleași, deși orientarea lor pe podea se poate schimba. Sursa: Pixabay.

Congruență, identitate și similaritate

Există concepte geometrice legate de congruență, de exemplu figuri identice și figuri similare, care nu implică neapărat că cifrele sunt congruente.

Rețineți că figurile congruente sunt identice, totuși patrulaterele din figura 1 ar putea fi orientate în moduri diferite pe plan și rămân în continuare congruente, deoarece orientarea diferită nu modifică dimensiunea laturilor lor sau a unghiurilor lor. În acest caz, ele nu vor mai fi identice.

Celălalt concept este acela al similitudinii cifrelor: două figuri plane sunt similare dacă au aceeași formă și unghiurile lor interne măsoară aceeași, deși dimensiunea figurilor poate fi diferită. Dacă acesta este cazul, cifrele nu sunt congruente.

Exemple de congruență

- Congruența unghiurilor

Așa cum am indicat la început, unghiurile congruente au aceeași măsură. Există mai multe modalități de a obține unghiuri congruente:

Exemplul 1

Două linii cu un punct în comun definesc două unghiuri, numite unghiuri opuse din cauza vertexului. Aceste unghiuri au aceeași măsură, prin urmare sunt congruente.

Figura 3. Unghiurile opuse de vertex. Sursa: Wikimedia Commons.

Exemplul 2

Există două linii paralele plus o linie t care intersectează ambele. Ca și în exemplul precedent, atunci când această linie intersectează paralelele, ea generează unghiuri congruente, unul pe fiecare linie în partea dreaptă și alte două în partea stângă. Figura arată α și α ₁ , în dreapta liniei t, care sunt congruente.

Figura 4. Unghiurile prezentate în figură sunt congruente. Sursa: Wikimedia Commons. Lfahlberg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Exemplul 3

Într-un paralelogram există patru unghiuri interioare, care sunt congruente două-două. Ele sunt cele dintre vârfurile opuse, așa cum se arată în figura următoare, în care cele două unghiuri în verde sunt congruente, precum și cele două unghiuri în roșu.

Figura 5. Unghiurile interioare ale paralelogramei sunt congruente două câte două. Sursa: Wikimedia Commons.

- Congruența triunghiurilor

Două triunghiuri cu aceeași formă și dimensiune sunt congruente. Pentru a verifica acest lucru, există trei criterii care pot fi examinate în căutarea congruenței:

- Criteriul LLL : cele trei laturi ale triunghiurilor au aceleași măsuri, deci L ₁ = L ' ₁ ; L ₂ = L ' ₂ și L ₃ = L' _3.

Figura 6. Exemplu de triunghiuri congruente, ale căror laturi măsoară la fel. Sursa: F. Zapata.

- Criterii ALA și AAL : triunghiurile au două unghiuri interne egale, iar latura dintre aceste unghiuri are aceeași măsură.

Figura 7. Criterii ALA și AAL pentru congruența triunghiului. Sursa: Wikimedia Commons.

- Criteriul LAL : două dintre părți sunt identice (corespunzătoare) și există același unghi între ele.

Figura 8. Criteriul LAL pentru congruența triunghiurilor. Sursa: Wikimedia Commons.

Exerciții rezolvate

- Exercitiul 1

În următoarea figură sunt prezentate două triunghiuri: andABC și ΔECF. Se știe că AC = EF, că AB = 6 și că CF = 10. În plus, unghiurile ∡BAC și ∡FEC sunt congruente și unghiurile ∡ACB și ∡FCB sunt de asemenea congruente.

Figura 9. Triunghiuri pentru exemplul lucrat 1. Sursa: F. Zapata.

Atunci lungimea segmentului BE este egală cu:

(i) 5

(ii) 3

(iii) 4

(iv) 2

(v) 6

Soluţie

Deoarece cele două triunghiuri au o latură de lungime egală AC = EF între unghiurile egale ∡BAC = ∡CEF și ∡BCA = ∡CFE, se poate spune că cele două triunghiuri sunt congruente după criteriul ALA.

Adică ΔBAC ≡ ΔCEF, deci trebuie să:

BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

Dar segmentul care trebuie calculat este BE = BC - EC = 10 - 6 = 4.

Deci răspunsul corect este (iii).

- Exercițiul 2

În figura de mai jos sunt prezentate trei triunghiuri. De asemenea, se știe că cele două unghiuri indicate măsoară 80 ° fiecare și că segmentele AB = PD și AP = CD. Găsiți valoarea unghiului X indicat în figură.

Figura 10. Triunghiuri pentru exemplul rezolvat 2. Sursa: F. Zapata.

Soluţie

Trebuie să aplicați proprietățile triunghiurilor, care sunt detaliate pas cu pas.

Pasul 1

Începând cu criteriul congruenței triunghiului LAL, se poate afirma că triunghiurile BAP și PDC sunt congruente:

ΔBAP ≡ ΔPDC

Pasul 2

Cele de mai sus duc la afirmarea că BP = PC, de aceea triunghiul ΔBPC este izoscel și ∡PCB = ∡PBC = X.

Pasul 3

Dacă numim unghiul BPC γ, rezultă că:

2x + γ = 180º

Pasul 4

Și dacă numim unghiurile APB și DCP β și α unghiurile ABP și DPC, avem:

α + β + γ = 180º (deoarece APB este un unghi plan).

Pasul 5

Mai mult, α + β + 80º = 180º prin suma unghiurilor interne ale triunghiului APB.

Pasul 6

Combinând toate aceste expresii avem:

α + β = 100º

Pasul 7

Prin urmare:

γ = 80º.

Pasul 8

În sfârșit, rezultă că:

2X + 80º = 180º

Cu X = 50º.

Referințe

1. Baldor, A. 1973. Geometria planului și spațiului. Central American Cultural.
2. Fundația CK-12. Poligoane congruente. Recuperat din: ck 12.org.
3. Bucurați-vă de matematică. Definiții: Radius (poligon). Recuperat de la: enjoylasmatematicas.com.
4. Referință matematică deschisă. Testarea poligonilor pentru congruență. Recuperat de la: mathopenref.com.
5. Wikipedia. Congruență (geometrie). Recuperat de la: es.wikipedia.org.
6. Zapata, F. Triunghiuri, istorie, elemente, clasificare, proprietăți. Recuperat de la: lifeder.com.