COMPONENTE DREPTUNGHIULARE ALE UNUI VECTOR (CU EXERCIȚII) - MATEMATICA - 2025

Componentele dreptunghiulare ale unui vector sunt datele care alcătuiesc acel vector. Pentru a le determina, este necesar să existe un sistem de coordonate, care este în general planul cartezian.

După ce ai un vector într-un sistem de coordonate, poți calcula componentele acestuia. Acestea sunt 2, o componentă orizontală (paralelă cu axa X), numită „componentă pe axa X” și o componentă verticală (paralelă cu axa Y), numită „componentă pe axa Y”.

Reprezentare grafică a componentelor dreptunghiulare ale unui vector

Pentru a determina componentele, este necesar să cunoaștem anumite date ale vectorului, cum ar fi magnitudinea acestuia și unghiul pe care îl formează cu axa X.

Cum se determină componentele dreptunghiulare ale unui vector?

Pentru a determina aceste componente, trebuie cunoscute anumite relații între triunghiurile drepte și funcțiile trigonometrice.

În imaginea următoare puteți vedea această relație.

Relațiile dintre triunghiurile drepte și funcțiile trigonometrice

Sinusul unui unghi este egal cu coeficientul dintre măsura piciorului opus unghiului și măsura ipotenuzei.

Pe de altă parte, cosinusul unui unghi este egal cu coeficientul dintre măsura piciorului adiacent unghiului și măsura hipotenuzei.

Tangenta unui unghi este egală cu coeficientul dintre măsura piciorului opus și măsura piciorului alăturat.

În toate aceste relații este necesar să se stabilească triunghiul drept corespunzător.

Există alte metode?

Da. În funcție de datele furnizate, modul de calcul al componentelor dreptunghiulare ale unui vector poate varia. Un alt instrument utilizat pe scară largă este Teorema pitagoreică.

Exerciții

Următoarele exerciții pun în practică definirea componentelor dreptunghiulare ale unui vector și relațiile descrise mai sus.

Primul exercițiu

Se știe că un vector A are o magnitudine egală cu 12 și unghiul pe care îl face cu axa X are o măsură de 30 °. Determinați componentele dreptunghiulare ale vectorului A.

Soluţie

Dacă imaginea este apreciată și sunt utilizate formulele descrise mai sus, se poate concluziona că componenta din axa Y a vectorului A este egală cu

sin (30 °) = Vy / 12 și, prin urmare, Vy = 12 * (1/2) = 6.

Pe de altă parte, avem că componenta de pe axa X a vectorului A este egală cu

cos (30 °) = Vx / 12 și, prin urmare, Vx = 12 * (√3 / 2) = 6√3.

Al doilea exercițiu

Dacă vectorul A are o mărime egală cu 5 și componenta de pe axa x este egală cu 4, determinați valoarea componentei A pe axa y.

Soluţie

Folosind teorema lui Pitagore, avem în vedere că mărimea vectorului A pătrat este egală cu suma pătratelor celor două componente dreptunghiulare. Adică M² = (Vx) ² + (Vy) ².

Înlocuind valorile date, trebuie să

5² = (4) ² + (Vy) ², deci, 25 = 16 + (Vy) ².

Aceasta implică faptul că (Vy) ² = 9 și, prin urmare, Vy = 3.

Al treilea exercițiu

Dacă vectorul A are o magnitudine egală cu 4 și face un unghi de 45 ° cu axa X, determinați componentele dreptunghiulare ale acelui vector.

Soluţie

Folosind relațiile dintre un triunghi drept și funcțiile trigonometrice, se poate concluziona că componenta de pe axa Y a vectorului A este egală cu

sin (45 °) = Vy / 4, și, prin urmare, Vy = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

Pe de altă parte, avem că componenta de pe axa X a vectorului A este egală cu

cos (45 °) = Vx / 4 și, prin urmare, Vx = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

Referințe

1. Landaverde, FD (1997). Geometrie (reed. Ed.). Progresul.
2. Leake, D. (2006). Triunghiuri (ed. Ilustrată). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrii. Tehnologic al CR.
5. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometrie și geometrie analitică. Pearson Education.