RAPORTUL POISSON: COEFICIENT, FORMULE, VALORI, EXEMPLE - FIZIC - 2025

Raportul Poisson este o cantitate fără dimensiuni, caracteristică fiecărui material. Este o indicație a deformării unei bucăți de material înainte de aplicarea anumitor forțe.

Atunci când o bucată de material care este supusă tensiunii sau compresiei, suferă o deformare, coeficientul dintre deformarea transversală și deformarea longitudinală este exact raportul Poisson.

Figura 1. Raportul Poisson măsoară relația dintre întinderea longitudinală și îngustarea transversală. (Pregătit de Ricardo Pérez)

De exemplu, un cilindru de cauciuc care este supus tensiunii la capetele sale se întinde pe direcția longitudinală, dar se îngustează transversal. Figura 1 prezintă o bară ale cărei dimensiuni originale sunt: ​​lungimea L și diametrul D.

Bara este supusă unei tensiuni T la capetele sale și, ca urmare a acestei tensiuni, suferă o întindere, astfel încât noua lungime este L '> L. Dar, atunci când este întinsă, diametrul său se îngustează și la noua valoare: D „<D.

Coeficientul dintre întindere (pozitiv) și îngustare (negativ) înmulțit cu (-1), este un număr pozitiv între 0 și 0,5. Acest număr este așa-numitul raport Poisson ν (litera greacă nu).

Formula raportului Poisson

Pentru a calcula raportul Poisson, este necesar să se determine tulpina longitudinală și transversală.

Tulpina longitudinală ε _L este întinderea împărțită la lungimea inițială:

ε _L = (L '- L) / L

În mod similar, tulpina transversală ε _T este îngustarea radială divizată în diametrul inițial:

ε _T = (D '- D) / D

Prin urmare, raportul Poisson este calculat după următoarea formulă:

ν = - ε _T / ε _L

Relația cu modulul de elasticitate și modulul de rigiditate

Raportul Poisson ν este legat de modulul E de elasticitate (sau modulul lui Young) și modulul de rigiditate G, după următoarea formulă:

Valoarea raportului Poisson pentru materiale

Figura 2. Oțelul inoxidabil are un raport Poisson între 0,30 și 0,31. Sursa: Pixabay.

Exemple de calcul

Exemplul 1

O bară dintr-un anumit material plastic are lungimea de 150 mm și o secțiune circulară cu diametrul de 20 mm. Când este supusă unei forțe de compresie F de 612,25 kg-f, se observă o scurtare de 14 mm și simultan o creștere de 0,85 mm în diametrul barei.

Calculati:

a) Tulpina longitudinala.

b) tulpina transversala.

c) Raportul Poisson al materialului respectiv.

d) Modulul de elasticitate al tânărului corespunzător materialului.

e) Modulul de rigiditate pentru plasticul respectiv.

Solutie la

Reamintim că tulpina longitudinală εL este întinderea împărțită la lungimea inițială:

εL = (L '- L) / L

εL = (-14 mm) / 150 mm = -0,0933

Rețineți că tulpina longitudinală este fără dimensiuni și, în acest caz, a fost negativă, deoarece a existat o scădere a dimensiunii sale longitudinale.

Soluție b

În mod similar, tulpina transversală εT este conica radială, divizată la diametrul inițial:

εT = (D '- D) / D

εT = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425

Tulpina transversală a fost pozitivă, deoarece a existat o creștere a diametrului barei.

Soluție c

Pentru calculul raportului Poisson trebuie să ne amintim că este definit ca negativul coeficientului dintre deformarea transversală și deformarea longitudinală:

ν = - εT / εL

ν = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554

Trebuie amintit că raportul Poisson este un număr pozitiv fără dimensiuni, iar pentru majoritatea materialelor este cuprins între 0 și 0,5.

Soluție d

Modulul de elasticitate al lui Young, notat cu litera E, este constanta proporționalității din legea lui Hooke. Prin E, tensiunea normală σL este legată de tulpina εL, după cum urmează:

σL = E εL

Stresul normal este definit ca coeficientul dintre forța normală (în acest caz paralel cu axa barei) și zona secțiunii transversale:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

În acest exercițiu, forța F este 612,25 kg-f, care trebuie convertită în newton, care este unitatea de forță SI:

F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 N = 6000 N = 6 kN

La rândul său, secțiunea transversală a zonei A este:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 3.1416 * 10 ^ -4 m ^ 2

În cele din urmă, stresul normal aplicat barei este:

σL = F / A = 6000 N / 3.1416 * 10 ^ -4 m ^ 2 = 19.098.593 Pa = 19.098 MPa

Pentru a calcula modulul de elasticitate al lui Young, rezolvăm pentru E din legea lui Hooke σL = E εL:

E = σL / εL = 19.098.593 Pa / 0.0933 = 204.7 MPa

Soluție e

Modulul de rigiditate G este legat de modulul E al lui Young și raportul Poisson ν prin această formulă:

E / (2 G) = 1 + ν

De acolo putem rezolva pentru G:

G = E / (2 (1 + ν)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa

Exemplul 2

Există un cablu de cupru cu un diametru de 4 mm și 1 m lungime. Știind că modulul Young de cupru este de 110.000 MPa și că raportul său Poisson este de 0,34, estimați întinderea și restrângerea în diametru pe care o trece prin sârmă atunci când o greutate de 100 kg-f este atârnată de el.

Soluţie

În primul rând, este necesar să se calculeze tensiunea normală de tracțiune pe care greutatea o exercită pe fir, urmând această formulă:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

Forța F este de 980 N, iar secțiunea transversală este:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 1.2566 * 10 ^ -5 m ^ 2

Atunci tensiunea la tracțiune este:

σL = 980 N / 1.2566 * 10 ^ -5 m ^ 2 = 77.986.000 Pa

Calculul tulpinii de sârmă

Modulul de elasticitate al lui Young, notat cu litera E, este constanta proporționalității din legea lui Hooke care raportează stresul normal σL la tulpina εL:

σL = E εL

De acolo se poate rezolva tulpina longitudinală a firului de cupru:

εL = σL / E = 77.986 MPa / 110000 MPa = 7.09 * 10 ^ -4

Calculul tulpinii transversale

Pe de altă parte, pentru a cunoaște tulpina transversală, se aplică raportul Poisson:

ν = - εT / εL

În sfârșit, tulpina transversală este:

εT = –ν εL = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4

Calcularea întinderii de cablu absolute

În sfârșit, pentru a cunoaște întinderea absolută a cablului, trebuie aplicată următoarea relație:

ΔL = εL * L = 7.09 * 10 ^ -4 * 1 m = 7.09 * 10 ^ -4 m = 0,709 mm

Adică, cu această greutate cablul abia s-a întins cu 0,709 milimetri.

Calcularea scăderii diametrului

Pentru a obține contracția absolută în diametru, utilizăm următoarea formulă:

ΔD = εT * D = -2.41 * 10 ^ -4 * 4 mm = -9.64 * 10 ^ -4 mm = -0.000964 milimetri.

Această îngustare în diametru este atât de mică încât este dificil de văzut cu ochiul liber, chiar și măsurarea acestuia necesită un instrument de înaltă precizie.

Referințe

1. Berea F .. Mecanica materialelor. 5-a. Ediție. 2010. Mc Graw Hill. 1-130.
2. Hibbeler R. Mecanica materialelor. A opta ediție. Sala Prentice. 2011. 3-60.
3. Gere J. Mecanica materialelor. A opta ediție. Cengage Learning. 4-220.
4. Giancoli, D. 2006. Fizică: Principii cu aplicații. 6 Ed. Sala Prentice. 238-242.
5. Valera Negrete, J. 2005. Note privind fizica generală. UNAM. 87-98.