BAZA ORTONORMALĂ: PROPRIETĂȚI, EXEMPLE ȘI EXERCIȚII - FIZIC - 2025

O bază ortonormală este formată cu vectori perpendiculari între ei și al căror modul este, de asemenea, 1 (vectori unități). Să ne amintim că o bază B într-un spațiu vectorial V este definită ca un set de vectori liniar independenți capabili să genereze spațiul menționat.

La rândul său, un spațiu vectorial este o entitate matematică abstractă dintre elementele ale cărora sunt vectori, în general asociați cu cantități fizice, cum ar fi viteza, forța și deplasarea sau, de asemenea, cu matrici, polinomii și funcții.

Figura 1. Baza ortonormală în plan. Sursa: Wikimedia Commons. Quartl.

Vectorii au trei elemente distinctive: mărimea sau modulul, direcția și sensul. O bază ortonormală este utilă în special pentru a reprezenta și opera cu ele, deoarece orice vector care aparține unui anumit spațiu vectorial V poate fi scris ca o combinație liniară a vectorilor care formează baza ortonormală.

În acest fel, operațiile între vectori sunt executate analitic, cum ar fi adunarea, scăderea și diferitele tipuri de produse definite în spațiul menționat.

Printre bazele cele mai utilizate în fizică se află baza formată de vectorii unității i , j și k care reprezintă cele trei direcții distinctive ale spațiului tridimensional: înălțimea, lățimea și adâncimea. Acești vectori sunt cunoscuți și ca unități de vectori canonici

Dacă, în schimb, vectorii sunt lucrați într-un plan, două dintre aceste trei componente ar fi suficiente, în timp ce pentru vectori unidimensionali este necesară doar una.

Proprietățile bazelor

1- O bază B este cel mai mic set posibil de vectori care generează spațiul vectorial V.

2- Elementele lui B sunt liniar independente.

3- Orice bază B a unui spațiu vectorial V, permite exprimarea tuturor vectorilor lui V ca o combinație liniară a acesteia și această formă este unică pentru fiecare vector. Din acest motiv, B este cunoscut și sub denumirea de sistem generator.

4- Același spațiu vectorial V poate avea baze diferite.

Exemple de baze

Iată câteva exemple de baze și baze ortonormale în general:

Baza canonică în ℜ

Numită și bază naturală sau bază standard a lui ℜ ⁿ , unde ℜ ⁿ este spațiu n-dimensional, de exemplu spațiul tridimensional este ℜ ³ . Valoarea lui n se numește dimensiunea spațiului vectorial și este notată ca dim (V).

Toți vectorii aparținând lui ℜ ⁿ sunt reprezentați prin n-reclame comandate. Pentru spațiul ℜ ⁿ , baza canonică este:

e ₁ = <1,0,. . . , 0>; e ₂ = <0,1,. . . , 0>; …… .. e _n = <0,0,. . . , 1>

În acest exemplu, am folosit notația cu paranteze sau „paranteze” și cu caractere aldine pentru vectorii unității e ₁ , e ₂ , e ₃ …

Baza canonică în ℜ

Vectorii familiari i , j și k admit această aceeași reprezentare și toți trei sunt suficienți pentru a reprezenta vectorii în ℜ ³ :

i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>

Înseamnă că baza poate fi exprimată astfel:

B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

Pentru a verifica dacă acestea sunt liniar independente, determinantul format cu acestea este zero și, de asemenea, egal cu 1:

De asemenea, trebuie să fie posibil să se scrie orice vector aparținând lui ℜ ³ ca o combinație liniară a acestora. De exemplu, o forță ale cărei componente dreptunghiulare sunt F _x = 4 N, F _y = -7 N și F _z = 0 N ar fi scrise în formă vectorială astfel:

F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.

Prin urmare , i , j și k alcătuiesc un sistem generator de ℜ ³ .

Alte baze ortonormale din ℜ

Baza standard descrisă în secțiunea precedentă nu este singura bază ortonormală din ℜ ³ . Aici avem de exemplu bazele:

B ₁ = {; <- sin θ, cos θ, 0>; <0,0,1>}

B ₂ = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>}

Se poate demonstra că aceste baze sunt ortonormale, pentru aceasta amintim condițiile care trebuie îndeplinite:

-Vectorii care formează baza trebuie să fie ortogonali între ei.

-Carecare dintre ele trebuie să fie unitar.

Putem verifica acest lucru știind că determinantul format de ei trebuie să fie zero și egal cu 1.

Baza B ₁ este tocmai cea a coordonatelor cilindrice ρ, φ și z, o altă modalitate de exprimare a vectorilor în spațiu.

Figura 2. Coordonatele cilindrice. Sursa: Wikimedia Commons. Buff matematica.

Exerciții rezolvate

- Exercitiul 1

Arătați că baza B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0>; <0,0,1>} este ortonormală.

Soluţie

Pentru a arăta că vectorii sunt perpendiculari între ei, vom folosi produsul scalar, numit și produsul intern sau punct al doi vectori.

Fie oricare doi vectori u și v , produsul lor punct este definit de:

u • v = uv cosθ

Pentru a distinge vectorii modulelor lor, vom folosi litere aldine pentru prima și normală litere pentru a doua. θ este unghiul dintre u și v, prin urmare , dacă acestea sunt perpendiculare, înseamnă că θ = 90º și produsul scalar este zero.

Alternativ, dacă vectorii sunt date în termenii componentelor lor: u =x, u _y , u _z > y v =x, v _y , v _z >, produsul scalar al ambelor, care este comutativ, este calculat în acest fel:

u • v = u _x .v _x + u _y .v _y + u _z .v _z

În acest fel, produsele scalare între fiecare pereche de vectori sunt, respectiv:

i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4 / 5.0> • <0, 0.1> = 0

iii) <- 4/5, 3 / 5.0> • <0, 0.1> = 0

Pentru a doua condiție, modulul fiecărui vector este calculat, care este obținut prin:

│u │ = √ (u _x ² + u _y ² + u _z ² )

Astfel, modulele fiecărui vector sunt:

│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0, 0.1> │ = √ = 1

Prin urmare, toți trei sunt vectori de unitate. În cele din urmă, factorul determinant pe care îl formează este zero și egal cu 1:

- Exercițiul 2

Scrieți coordonatele vectorului w = <2, 3,1> în termenii bazei de mai sus.

Soluţie

Pentru aceasta, se folosește următoarea teoremă:

w = < w • v ₁ > v ₁ + < w • v ₂ > v ₂ + < w • v ₃ > v ₃ + … < w • v _n > v _n

Aceasta înseamnă că putem scrie vectorul în baza B, folosind coeficienții < w • v ₁ >, < w • v ₂ >, … < w • v _n >, pentru care trebuie să calculăm produsele scalare indicate:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1,0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1,0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

Cu produsele scalare obținute, se construiește o matrice, numită matricea de coordonate w.

Prin urmare, coordonatele vectorului w din baza B sunt exprimate prin:

_B =

Matricea de coordonate nu este vectorul, deoarece un vector nu este același cu coordonatele sale. Acestea sunt doar un set de numere care servesc la exprimarea vectorului într-o bază dată, nu vectorul ca atare. De asemenea, acestea depind de baza selectată.

În cele din urmă, urmând teorema, vectorul w va fi exprimat după cum urmează :

w = (18/5) v ₁ + (1/5) v ₂ + v ₃

Cu: v ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; v ₂ = <- 4/5, 3 / 5,0>; v ₃ = <0,0,1>}, adică vectorii bazei B.

Referințe

1. Larson, R. Fundații ale algebrei liniare. 6-a. Ediție. Cengage Learning.
2. Larson, R. 2006. Calcul. Al 7-lea. Ediție. Volumul 2. McGraw Hill.
3. Salas, J. Algebra liniară. Unitatea 10. Bazele ortonormale. Recuperat din: ocw.uc3m.es.
4. Universitatea din Sevilla. Coordonate cilindrice. Baza vectorială. Recuperat din: laplace.us.es.
5. Wikipedia. Baza ortonormală. Recuperat de la: es.wikipedia.org.