AXIOME DE PROBABILITATE: TIPURI, EXPLICAȚII, EXEMPLE, EXERCIȚII - DUDAS - 2025

De Axiomele de probabilitate sunt propoziții matematice referitoare la teoria probabilității, care nu fac dovada de merit. Axiomele au fost stabilite în 1933 de matematicianul rus Andrei Kolmogorov (1903-1987) în temele sale ale teoriei probabilității și a pus bazele studiului matematic al probabilității.

La realizarea unui anumit experiment aleatoriu ξ, spațiul de eșantion E este setul tuturor rezultatelor posibile ale experimentului, numite și evenimente. Orice eveniment este notat ca A și P (A) este probabilitatea apariției sale. Atunci Kolmogorov a stabilit că:

Figura 1. Axiomele probabilității ne permit să calculăm probabilitatea de a lovi jocuri de noroc, cum ar fi ruleta. Sursa: Pixabay.

- Axioma 1 (non-negativitate) : probabilitatea ca orice eveniment A să fie întotdeauna pozitiv sau zero, P (A) ≥0. Când probabilitatea unui eveniment este 0, se numește eveniment imposibil.

- Axiom 2 (certitudine) : ori de câte ori un eveniment care aparține E, probabilitatea sa de apariție este 1, pe care o putem exprima ca P (E) = 1. Acest lucru este cunoscut ca un anumit eveniment, deoarece, atunci când se desfășoară un experiment, există cu siguranță un rezultat.

- Axioma 3 (adăugare) : în cazul a două sau mai multe evenimente incompatibile două câte două, numite A ₁ , A ₂ , A ₃ …, probabilitatea ca evenimentul A ₁ plus A ₂ plus A _{3 să se} producă etc. succesiv, este suma probabilităților fiecăruia să se întâmple separat.

Aceasta se exprimă astfel: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U …) = P (A ₁ ) + P (A ₂ ) + P (A ₃ ) + …

Figura 2. Remarcabilul matematician rus Andrei Kolmogorov (1903-1987), care a pus bazele probabilității axiomatice. Sursa: Wikimedia Commons.

Exemplu

Axiomele de probabilitate sunt utilizate pe scară largă într-o multitudine de aplicații. De exemplu:

Un thumbtack sau o lovitură este aruncată în aer, iar atunci când cade la podea există opțiunea de aterizare cu punctul în sus (U) sau cu punctul în jos (D) (nu vom lua în considerare alte posibilități). Spațiul de probă pentru acest experiment constă din aceste evenimente, apoi E = {U, D}.

Figura 3. În experimentul aruncării tălpii, există două evenimente cu probabilități diferite: aterizarea cu punctul în sus sau spre sol. Sursa: Pixabay.

Prin aplicarea axiomelor avem:

Dacă este la fel de probabil să aterizezi în sus sau în jos, P (U) = P (D) = ½ (Axiom 1). Cu toate acestea, construcția și designul thumbtack-ului poate face mai multe șanse să cadă într-un fel sau altul. De exemplu, este posibil ca P (U) = ¾ în timp ce P (D) = ¼ (Axiom 1).

Rețineți că, în ambele cazuri, suma probabilităților dă 1. Cu toate acestea, axiomele nu indică modul de atribuire a probabilităților, cel puțin nu complet. Dar afirmă că sunt numere între 0 și 1 și că, ca în acest caz, suma tuturor este 1.

Moduri de a atribui probabilitatea

Axiomele probabilității nu sunt o metodă de atribuire a valorii probabilității. Pentru aceasta, există trei opțiuni compatibile cu axiomele:

Regula lui Laplace

Fiecare eveniment i se atribuie aceeași probabilitate de a se întâmpla, apoi probabilitatea de apariție este definită ca:

De exemplu, care este probabilitatea de a trage un as dintr-un pachet de cărți franceze? Puntea are 52 de cărți, 13 din fiecare costum și există 4 costume. Fiecare costum are 1 ași, deci în total sunt 4 ași:

P (ca) = 4/52 = 1/13

Regula lui Laplace este limitată la spațiile de probă finite, unde fiecare eveniment este la fel de probabil.

Frecventa relativa

Aici experimentul trebuie repetabil, deoarece metoda se bazează pe efectuarea unui număr mare de repetări.

Să facem repetări ale experimentului ξ, dintre care descoperim că n este numărul de ori în care apare un anumit eveniment A, atunci probabilitatea ca acest eveniment să fie:

P (A) = lim _{i → ∞} (n / i)

Unde n / i este frecvența relativă a unui eveniment.

Definirea P (A) în acest fel satisface axiomele lui Kolmogorov, dar are dezavantajul că multe teste trebuie efectuate pentru ca probabilitatea să fie adecvată.

Metoda subiectivă

O persoană sau un grup de oameni pot fi de acord să atribuie probabilitatea unui eveniment, prin propria judecată. Această metodă are dezavantajul că diferite persoane pot atribui probabilități diferite aceluiași eveniment.

Exercițiu rezolvat

În experimentul de a arunca simultan 3 monede oneste, obțineți probabilitățile evenimentelor descrise:

a) 2 capete și o coadă.

b) 1 cap și două cozi

c) 3 cruci.

d) Cel puțin 1 față.

Solutie la

Capetele sunt notate de C și cozile de X. Există mai multe moduri de a obține două capete și o coadă. De exemplu, primele două monede pot ateriza capete, iar a treia poate ateriza cozi. Sau primul poate cădea capete, al doilea cozi și al treilea capete. Și în sfârșit, primele pot fi cozile și capetele rămase.

Pentru a răspunde la întrebări este necesar să cunoaștem toate posibilitățile, care sunt descrise într-un instrument numit diagrama arborelui sau arborele de probabilitate:

Figura 4. Schema arborelui pentru aruncarea simultană a trei monede cinstite. Sursa: F. Zapata.

Probabilitatea ca orice monedă să fie capete este ½, aceeași este valabilă și pentru cozi, deoarece moneda este cinstită. Coloana din dreapta enumeră toate posibilitățile pe care le are, adică spațiul de probă.

Din spațiul de probă, se aleg combinațiile care răspund la evenimentul solicitat, deoarece ordinea în care apar fețele nu este importantă. Există trei evenimente favorabile: CCX, CXC și XCC. Probabilitatea ca fiecare eveniment să se întâmple este:

P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8

La fel se întâmplă și pentru evenimentele CXC și XCC, fiecare are o probabilitate de 1/8. Prin urmare, probabilitatea de a obține exact 2 capete este suma probabilităților tuturor evenimentelor favorabile:

P (cu două fețe) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375

Soluție b

Găsirea probabilității să apară exact două încrucișări este o problemă similară cu cea anterioară, există, de asemenea, trei evenimente favorabile preluate din spațiul de probă: CXX, XCX și XXC. Prin urmare:

P (2 cruci) = 3/8 = 0,375

Soluție c

Intuitiv știm că probabilitatea de a obține 3 cozi (sau 3 capete) este mai mică. În acest caz, evenimentul căutat este XXX, la sfârșitul coloanei din dreapta, a cărui probabilitate este:

P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0,125.

Soluție d

Se solicită obținerea a cel puțin unei fețe, aceasta înseamnă că pot ieși 3 fețe, 2 fețe sau 1 față. Singurul eveniment incompatibil cu acesta este cel în care ies 3 cozi, a căror probabilitate este 0,125. Prin urmare, probabilitatea căutată este:

P (cel puțin 1 cap) = 1 - 0,125 = 0,875.

Referințe

1. Canavos, G. 1988. Probabilitate și statistici: aplicații și metode. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Probabilitatea și statisticile pentru inginerie și știință. 8-a. Ediție. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Seria Schaum: Probabilitate. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Teoria probabilității. Editorial Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Probabilitatea și statisticile pentru inginerie și științe. Pearson.