ARCUL (GEOMETRIE): MĂSURĂ, TIPURI DE ARCADE, EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

Arc , în geometrie, este orice linie curbă care conectează două puncte. O linie curbă, spre deosebire de o linie dreaptă, este una a cărei direcție este diferită în fiecare punct de pe ea. Opusul unui arc este un segment, deoarece acesta este o secțiune dreaptă care unește două puncte.

Arcul cel mai des utilizat în geometrie este arcul de circumferință. Alte arcade în uz comun sunt arcul parabolic, arcul eliptic și arcul catenar. Forma arcului este frecvent utilizată și în arhitectură ca element decorativ și element structural. Este cazul lintelelor ușilor și ferestrelor, precum și ale podurilor și apeductelor.

Figura 1. Curcubeul este o linie curbă care unește două puncte la orizont. Sursa: Pixabay

Arcul și măsura sa

Măsura unui arc este lungimea sa, care depinde de tipul de curbă care leagă cele două puncte și locația lor.

Lungimea unui arc circular este una dintre cele mai simple de calculat, deoarece se cunoaște lungimea arcului sau a perimetrului complet al unei circumferințe.

Perimetrul unui cerc este de două ori mai pi raza lui: p = 2 π R. Știind acest lucru, dacă dorim să calculăm lungimea unui arc circular de unghi α (măsurat în radieni) și raza R, se aplică o proporție:

(s / p) = (α / 2 π)

Apoi, ștergerea din expresia anterioară și înlocuirea perimetrului p pentru expresia ei ca funcție a razei R, avem:

s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R.

Adică, măsura unui arc circular este produsul timpului său de deschidere unghiulară raza arcului circular.

Pentru un arc în general, problema este mai complicată, până în punctul în care marii gânditori ai antichității au susținut că este o sarcină imposibilă.

Abia la apariția calculului diferențial și integral în 1665, problema măsurării oricărui arc a fost rezolvată în mod satisfăcător.

Înainte de inventarea calculului diferențial, soluțiile nu puteau fi găsite decât folosind linii poligonale sau arcuri de circumferință care au aproximat arcul adevărat, dar aceste soluții nu erau exacte.

Tipuri de arcuri

Din punct de vedere al geometriei, arcurile sunt clasificate în funcție de linia curbă care unește două puncte pe plan. Există și alte clasificări în funcție de utilizarea și forma arhitecturală.

Arcul circular

Când linia care leagă două puncte în plan este o bucată de circumferință de o anumită rază, avem un arc circular. Figura 2 prezintă un arc circular c al razei R care conectează punctele A și B.

Figura 2. Arcul circular de raza R care leagă punctele A și B. Elaborat de Ricardo Pérez.

Arcul parabolic

Parabola este calea urmată de un obiect care a fost aruncat oblic în aer. Când curba care unește două puncte este o parabolă, atunci avem un arc parabolic ca cel arătat în figura 3.

Figura 3. Punctele de conectare a arcului parabolic A și B. Elaborat de Ricardo Pérez.

Aceasta este forma jetului de apă care iese dintr-un furtun îndreptat în sus. Arcul parabolic poate fi observat în sursele de apă.

Figura 4. Arcul parabolic format din apă dintr-o fântână din Dresda. Sursa: Pixabay.

Arcul catenar

Arcul catenar este un alt arc natural. Catenarul este curba care se formează în mod natural atunci când un lanț sau o funie atârnă vag de două puncte separate.

Figura 5. Arcul catenar și compararea cu arcul parabolic. Pregătit de Ricardo Pérez.

Catenaria este similară cu parabola, dar nu este exact aceeași cum se poate observa în figura 4.

Arcul catenar inversat este utilizat în arhitectură ca element structural cu rezistență înaltă la compresiune. De fapt, se poate demonstra că este cel mai puternic tip de arc dintre toate formele posibile.

Pentru a construi un arc catenar solid, trebuie doar să copiați forma unei frânghii sau a unui lanț agățat, apoi forma copiată este întoarsă pentru a o reproduce pe linia ușii sau a geamului.

Arcul eliptic

Un arc este eliptic dacă curba care leagă două puncte este o bucată de elipsă. Elipsa este definită ca locusul punctelor a căror distanță până la două puncte date se adaugă întotdeauna la o cantitate constantă.

Elipsa este o curbă care apare în natură: este curba traiectoriei planetelor din jurul Soarelui, așa cum demonstrează Johannes Kepler în 1609.

În practică, o elipsă poate fi trasă prin fixarea a două tije pe pământ sau a doi pini dintr-o bucată de hârtie și legând o șir de ele. Sfoara este apoi strânsă cu markerul sau creionul și curba este trasată. O bucată de elipsă este un arc eliptic. Următoarea animație ilustrează modul în care elipsa este desenată:

Figura 5. Trasarea unei elipse folosind o frânghie întinsă. Sursa: Wikimedia Commons

Figura 6 prezintă un arc eliptic de conectare a punctelor G și H.

Figura 6. Arcul eliptic care leagă două puncte. Pregătit de Ricardo Pérez.

Exemple de arcade

Următoarele exemple se referă la modul de calcul al perimetrului unor arcade specifice.

Exemplul 1

Figura 7 prezintă o fereastră terminată într-un arc circular tăiat. Dimensiunile prezentate în figură sunt în picioare. Găsiți lungimea arcului.

Figura 7. Calculul lungimii arcului circular al unei ferestre. (Adnotări proprii - imaginea ferestrei pe Pixabay)

Pentru a obține centrul și raza arcului circular al liniei ferestrei, pe imagine sunt făcute următoarele construcții:

-Segmentul KL este desenat și bisectorul său este desenat.

-Apoi se află cel mai înalt punct al lintei, pe care îl numim M. În continuare, se consideră segmentul KM ​​și mediatrixul său este urmărit.

Interceptarea celor două bisectoare este punctul N și este, de asemenea, centrul arcului circular.

-Acum trebuie să măsurăm lungimea segmentului NM, care coincide cu raza R a arcului circular: R = 2,8 picioare.

-Pentru a cunoaște lungimea arcului în plus față de rază, este necesar să cunoaștem unghiul pe care îl formează arcul. Ceea ce poate fi determinat prin două metode, fie se măsoară cu un prelungitor, fie se calculează folosind trigonometrie.

În cazul prezentat, unghiul format de arc este 91,13º, care trebuie convertit în radiani:

91,13º = 91.13º * π / 180º = 1,59 radiani

În cele din urmă, calculăm lungimea s a arcului folosind formula s = α R.

s = 1,59 * 2,8 picioare = 4,45 picioare

Exemplul 2

Găsiți lungimea arcului eliptic prezentat în figura 8, cunoscând axa semi-majoră r și axa semi-minoră a elipsei.

Figura 8. Arcul eliptic între GH. Pregătit de Ricardo Pérez.

Găsirea lungimii unei elipse a fost una dintre cele mai dificile probleme din matematică pentru o lungă perioadă de timp. Puteți obține soluții exprimate prin integrale eliptice, dar pentru a avea o valoare numerică, trebuie să extindeți aceste integrale în serii de putere. Un rezultat exact ar necesita termeni infiniti ai acestor serii.

Din fericire, geniul matematic hindus Ramanujan, care a trăit între 1887 și 1920, a găsit o formulă care apropie foarte precis perimetrul unei elipse:

Perimetrul unei elipse cu r = 3 cm și s = 2,24 cm este de 16,55 cm. Cu toate acestea, arcul eliptic arătat are jumătate din această valoare:

Lungimea arcului eliptic GH = 8,28 cm.

Referințe

1. Clemens S. 2008. Geometrie și trigonometrie. Pearson Education.
2. García F. Proceduri numerice în Java. Lungimea unei elipse. Recuperat din: sc.ehu.es
3. Geometrie dinamică. Funde. Recuperat din geometriadinamica.es
4. Piziadas. Elipsuri și parabole în jurul nostru. Recuperat de la: piziadas.com
5. Wikipedia. Arcul (geometrie). Recuperat din: es.wikipedia.com