APROXIMARE IMPLICITĂ ȘI EXCES: CEEA CE ESTE ȘI EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

Sub și peste aproximare este o metodă numerică folosită pentru a stabili valoarea unui număr în funcție de diferite niveluri de precizie. De exemplu, numărul 235.623, este aproape de 235.6 implicit și 235.7 în exces. Dacă considerăm a zecea parte ca o legătură a erorii.

Apropierea constă în înlocuirea unei cifre exacte cu alta, în care înlocuirea menționată ar trebui să faciliteze operațiunile unei probleme matematice, păstrând structura și esența problemei.

Sursa: Pexels.

A ≈B

Scrie; A B aproximativ . Unde „A” reprezintă valoarea exactă și „B” valoarea aproximativă.

Numere semnificative

Valorile cu care este definit un număr aproximativ sunt cunoscute ca cifre semnificative. În aproximarea exemplului au fost luate patru cifre semnificative. Precizia unui număr este dată de numărul de cifre semnificative care îl definesc.

Cerozele infinite care pot fi localizate atât la dreapta cât și la stânga numărului nu sunt considerate cifre semnificative. Locația virgulei nu joacă niciun rol în definirea cifrelor semnificative ale unui număr.

750385

. . . . 00.0075038500. . . .

75.038500000. . . . .

750385000. . . . .

. . . . . 000007503850000. . . . .

În ce constă?

Metoda este destul de simplă; alegeți eroarea legată, care nu este altceva decât intervalul numeric în care doriți să efectuați tăierea. Valoarea acestui interval este direct proporțională cu marja de eroare a numărului aproximativ.

În exemplul de mai sus, 235.623 deține mii (623). Apoi s-a făcut aproximarea la zecimi. Valoarea în exces (235,7) corespunde celei mai semnificative valori în zecimi imediat după numărul inițial.

Pe de altă parte, valoarea implicită (235.6) corespunde cu cea mai apropiată și cea mai semnificativă valoare din zecimi, care este înainte de numărul inițial.

Apropierea numerică este destul de comună în practică cu numerele. Alte metode utilizate pe scară largă sunt rotunjirea și trunchierea ; care răspund la diferite criterii de atribuire a valorilor.

Marja de eroare

Atunci când definim intervalul numeric pe care îl va acoperi numărul după aproximare, definim și eroarea legată care însoțește cifra. Acest lucru va fi notat cu un număr rațional existent sau semnificativ în intervalul alocat.

În exemplul inițial, valorile definite prin exces (235,7) și implicit (235,6) au o eroare aproximativă de 0,1. În studiile statistice și de probabilitate, sunt tratate 2 tipuri de erori în raport cu valoarea numerică; eroare absolută și eroare relativă.

Balanța

Criteriile pentru stabilirea intervalelor de aproximare pot fi extrem de variabile și sunt strâns legate de specificațiile elementului care trebuie aproximat. În țările cu inflație ridicată, aproximațiile în exces ignoră unele intervale numerice, deoarece acestea sunt mai mici decât scara inflaționistă.

În acest fel, într-o inflație mai mare de 100%, vânzătorul nu va ajusta un produs de la 50 la 55 dolari, ci îl va aproxima la 100 USD, ignorând astfel unitățile și zeci, apropiindu-se direct de sută.

Folosind calculatorul

Calculatoarele convenționale aduc cu ele modul FIX, unde utilizatorul poate configura numărul de zecimale pe care dorește să le primească în rezultatele sale. Aceasta generează erori care trebuie luate în considerare la efectuarea calculelor exacte.

Apropierea numerelor iraționale

Unele valori utilizate pe scară largă în operațiile numerice aparțin setului de numere iraționale, a căror caracteristică principală este de a avea un număr nedeterminat de zecimale.

sursa: Pexels.

Valori precum:

• π = 3.141592654….
• e = 2.718281828 …
• √2 = 1.414213562 …

Sunt comune în experimentare, iar valorile lor trebuie definite într-un anumit interval, luând în considerare posibilele erori generate.

Pentru ce sunt ele?

În cazul diviziunii (1 ÷ 3), se observă prin experimentare necesitatea stabilirii unei reduceri a numărului de operații efectuate pentru a defini numărul.

1 ÷ 3 = 0,333333. . . . . .

1 ÷ 3 3/10 = 0,3

1 ÷ 3 33/100 = 0,33

1 ÷ 3 333/1000 = 0,333

1 ÷ 3 3333/10000 = 0,3333

1 ÷ 3 333333. . . . . / 10000. . . . . = 0,333333. . . . .

Este prezentată o operațiune care poate fi perpetuată la nesfârșit, de aceea este necesar să se apropie la un moment dat.

În cazul în care:

1 ÷ 3 333333. . . . . / 10000. . . . . = 0,333333. . . . .

Pentru orice punct stabilit ca marjă de eroare, se va obține un număr mai mic decât valoarea exactă a (1 ÷ 3). În acest fel, toate aproximările făcute anterior sunt aproximări implicite de (1 ÷ 3).

Exemple

Exemplul 1

1. Care dintre următoarele numere este o aproximare implicită de 0.0127

• 0,13
• 0.012; Este o aproximare implicită de 0,0127
• 0,01; Este o aproximare implicită de 0,0127
• 0.0128

Exemplul 2

1. Care dintre următoarele numere este o aproximație în exces de 23.435

• 24; este o aproximare în exces de 23.435
• 23.4
• 23.44; este o aproximare în exces de 23.435
• 23,5; este o aproximare în exces de 23.435

Exemplul 3

1. Definiți următoarele numere folosind o aproximare implicită , cu eroarea specificată legată.

• 547.2648 …. De mii, sutimi și zeci.

Mii de mii: miile corespund primelor 3 cifre după virgulă, unde după 999 vine unitatea. Procedăm la aproximativ 547.264.

Sute: Notate cu primele 2 cifre după virgulă, sutimile trebuie să se întâlnească, 99 pentru a ajunge la unitate. În acest mod, se apropie implicit de 547.26.

Zeci: În acest caz, eroarea legată este mult mai mare, deoarece intervalul de aproximare este definit în numerele întregi. Când aproximați în mod implicit în cele zece, primiți 540.

Exemplul 4

1. Definiți următoarele numere folosind o aproximare în exces , cu eroarea specificată legată.

• 1204.27317 Pentru zecimi, sute și altele.

Zecimi: se referă la prima cifră după virgulă, unde unitatea este compusă după 0.9. Apropierea de zecimi în exces dă 1204.3 .

Sute: din nou se observă o legătură de eroare a cărei rază de acțiune se înscrie în numerele întregi ale cifrei. Apropierea sutelor în exces dă 1300 . Această cifră este considerabil diferită de 1204.27317. Din această cauză, de obicei, aproximările nu sunt aplicate valorilor întregi.

Unități: prin apropierea excesivă de unitate, se obțin 1205.

Exemplul 5

1. O croitoreasă taie o lungime de țesătură de 135,3 cm pentru a realiza un steag de 7855 cm ² . Cât de mult va măsura cealaltă parte dacă utilizați o riglă convențională care marchează până la milimetri.

Apropiați rezultatele în exces și defecte .

Zona steagului este dreptunghiulară și este definită de:

A = partea x partea

side = A / side

lateral = 7855cm ² / 135,3cm

lateral = 58.05617147 cm

Datorită aprecierii regulii, putem obține date de până la milimetri, ceea ce corespunde gamei decimale în raport cu centimetrul.

Astfel 58cm este o aproximare implicită.

În timp ce 58.1 este o aproximare în exces.

Exemplul 6

1. Definiți 9 valori care pot fi numere exacte în fiecare dintre aproximări:

• 34.071 rezultă din aproximativ o mie de mii în mod implicit

34.07124 34.07108 34.07199

34.0719 34.07157 34.07135

34.0712 34.071001 34.07176

• 0.012 rezultă din aproximativ o mie de mii în mod implicit

0.01291 0.012099 0.01202

0,01233 0,01223 0,01255

0,01201 0,0121457 0,01297

• 23,9 rezultă din aproximarea zecimilor în exces

23.801 23.85555 23.81

23.89 23.8324 23.82

23,833 23,84 23,80004

• 58.37 este rezultatul aproximării a sutimi în exces

58.3605 58.36001 58.36065

58.3655 58.362 58.363

58.3623 58.361 58.3634

Exemplul 7

1. Apropiați fiecare număr irațional în funcție de eroarea indicată legată:

• π = 3.141592654….

Mii în mod implicit π = 3.141

Mii de mii în exces π = 3,142

Sute în mod implicit π = 3.14

Sute în exces π = 3,15

Zecimi implicit π = 3.1

Zecimi în exces π = 3,2

• e = 2.718281828 …

Mii în mod implicit e = 2.718

Mii de mii în exces e = 2,719

Sute în mod implicit e = 2,71

Sute în exces e = 2,72

Zecimi implicit e = 2,7

Zecimi în exces e = 2,8

• √2 = 1.414213562 …

Mii în mod implicit √2 = 1.414

Mii de mii în exces √2 = 1.415

Sute în mod implicit √2 = 1,41

Sute în exces √2 = 1,42

Zecimi implicit √2 = 1,4

Zecimi în exces √2 = 1,5

• 1 ÷ 3 = 0,3333333. . . . .

Mii în mod implicit 1 ÷ 3 = 0,332

Mii în exces de 1 ÷ 3 = 0,334

Sute în mod implicit 1 ÷ 3 = 0,33

Sute în exces de 1 ÷ 3 = 0,34

Zecimi implicit 1 ÷ 3 = 0,3

Zecimi în exces de 1 ÷ 3 = 0,4

Referințe

1. Probleme în analiza matematică. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universitatea din Wroclaw Polonia.
2. Introducere în logică și în metodologia științelor deductive. Alfred Tarski, New York Oxford. Presa Universitatii Oxford.
3. Profesorul de aritmetică, volumul 29. Consiliul Național al Profesorilor de Matematică, 1981. Universitatea din Michigan.
4. Învățarea și predarea teoriei numerelor: Cercetare în cunoaștere și instruire / editat de Stephen R. Campbell și Rina Zazkis. Editura Ablex 88 Post Road West, Westport CT 06881.
5. Bernoulli, J. (1987). Ars Conjectandi- 4ème partie. Rouen: IREM.