ANTIDERIVATIV: FORMULE ȘI ECUAȚII, EXEMPLE, EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

O F (x) antiderivativă a unei funcții f (x) este, de asemenea, numită primitivă sau pur și simplu integrală nedeterminată a funcției menționate, dacă într-un interval dat I, se îndeplinește faptul că F´ (x) = f (x)

De exemplu, să luăm următoarea funcție:

f (x) = 4x ³

Un antideriv al acestei funcții este F (x) = x ⁴ , deoarece atunci când diferențiază F (x) folosind regula de derivare pentru puteri:

Obținem exact f (x) = 4x ³ .

Cu toate acestea, acesta este doar unul dintre numeroasele antiderivative ale f (x), deoarece această altă funcție: G (x) = x ⁴ + 2 este și ea, deoarece atunci când diferențiem G (x) față de x, se obține aceeași înapoi f (x).

Hai să verificăm:

Nu uitați că derivata unei constante este 0. Prin urmare , putem adăuga orice constantă la termenul x ^4, iar derivata sa va rămâne 4x ³ .

Se concluzionează că orice funcție a formei generale F (x) = x ⁴ + C, unde C este o constantă reală, servește ca antiderivativ al lui f (x).

Exemplul ilustrativ de mai sus poate fi exprimat astfel:

dF (x) = 4x ³ dx

Integrala antiderivativă sau nedeterminată este exprimată cu simbolul ∫, prin urmare:

F (x) = ∫4x ³ dx = x ⁴ + C

În cazul în care funcția f (x) = 4x ³ se numește integrand, iar C este constanta integrării.

Exemple de antiderivative

Figura 1. Antiderivativul nu este altceva decât o integrală nedeterminată. Sursa: Pixabay.

Găsirea unui antiderivativ al unei funcții este simplă în unele cazuri în care derivații sunt bine cunoscuți. De exemplu, să fie funcția f (x) = sin x, un antideriv pentru aceasta este o altă funcție F (x), astfel încât atunci când o diferențiem obținem f (x).

Această funcție poate fi:

F (x) = - cos x

Să verificăm că este adevărat:

F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x

Prin urmare, putem scrie:

∫sen x dx = -cos x + C

Pe lângă cunoașterea derivatelor, există câteva reguli de integrare de bază și simple pentru a găsi integrala antiderivativă sau nedeterminată.

Fie k o adevărată constantă, atunci:

1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

Dacă o funcție h (x) poate fi exprimată ca adunare sau scădere a două funcții, atunci integrala ei nedeterminată este:

3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

Aceasta este proprietatea liniarității.

Regula puterilor pentru integrale poate fi stabilită în acest fel:

Pentru n = -1, se folosește următoarea regulă:

5.- ∫ x ^-1 dx = ln x + C

Este ușor de arătat că derivatul lui ln x este exact x ^-1 .

Ecuatii diferentiale

O ecuație diferențială este cea în care necunoscutul este găsit ca un derivat.

Acum, din analiza anterioară, este ușor să ne dăm seama că operațiunea inversă la derivat este antiderivativa sau integrală nedeterminată.

Fie f (x) = y´ (x), adică derivata unei anumite funcții. Putem folosi următoarea notație pentru a indica acest derivat:

Urmează imediat că:

Necunoscutul ecuației diferențiale este funcția y (x), cea a cărei derivată este f (x). Pentru a o rezolva, expresia anterioară este integrată pe ambele părți, ceea ce echivalează cu aplicarea antiderivativului:

Integrala stângă este rezolvată de regula de integrare 1, cu k = 1, rezolvând astfel necunoscutul dorit:

Și întrucât C este o constantă reală, pentru a ști care dintre ele este potrivit în fiecare caz, afirmația trebuie să conțină suficiente informații suplimentare pentru a calcula valoarea lui C. Aceasta se numește condiția inițială.

Vom vedea exemple de aplicare a tuturor acestor lucruri în secțiunea următoare.

Exerciții antiderivative

- Exercitiul 1

Aplicați regulile de integrare pentru a obține următoarele antiderivative sau integrale nedeterminate ale funcțiilor date, simplificând pe cât posibil rezultatele. Este convenabil să verificați rezultatul prin derivare.

Figura 2. Exerciții de antiderivative sau integrale definite. Sursa: Pixabay.

Solutie la

Aplicăm prima regulă 3, deoarece integrandul este suma a doi termeni:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

Pentru prima integrală se aplică regula puterii:

∫ dx = (x cu ² /2) + C ₁

În a doua regulă integrală se aplică 1, unde k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C ₂

Și acum se adaugă rezultatele. Cele două constante sunt grupate într-una, denumită generic C:

∫ (x + 7) dx = (x cu ² /2) + 7x + C

Soluție b

Prin liniaritate această integrală este descompusă în trei integrale mai simple, cărora li se va aplica regula de putere:

∫ (x ^3/2 + x ² + 6) dx = ∫x ^3/2 dx + ∫x ² dx + ∫6 dx =

Rețineți că o constantă de integrare apare pentru fiecare integrală, dar se întâlnesc într-un singur apel C.

Soluție c

În acest caz, este convenabil să se aplice proprietatea distributivă a înmulțirii pentru a dezvolta integrandul. Apoi regula de putere este utilizată pentru a găsi fiecare integrală separat, ca în exercițiul precedent.

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x ² -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x ² + x - 2) dx

Cititorul atent va constata că cei doi termeni centrali sunt similari, de aceea sunt reduși înainte de integrare:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x ² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C

Soluție e

O modalitate de a rezolva integrala ar fi dezvoltarea puterii, așa cum s-a făcut în exemplul d. Cu toate acestea, întrucât exponentul este mai mare, ar fi indicat să se schimbe variabila, pentru a nu fi nevoie să se facă o dezvoltare atât de lungă.

Modificarea variabilei este următoarea:

u = x + 7

Derivând această expresie în ambele părți:

du = dx

Integrala este transformată într-una mai simplă cu noua variabilă, care este rezolvată cu regula de putere:

∫ (x + 7) ⁵ dx = ∫ u ⁵ du = (1/6) u ⁶ + C

În final, modificarea este returnată pentru a reveni la variabila inițială:

∫ (x + 7) ⁵ dx = (1/6) (x + 7) ⁶ + C

- Exercițiul 2

O particulă este inițial în repaus și se deplasează de-a lungul axei X. Accelerația sa pentru t> 0 este dată de funcția a (t) = cos t. Se știe că la t = 0, poziția este x = 3, toate în unități ale sistemului internațional. I se cere să găsească viteza v (t) și poziția x (t) a particulei.

Soluţie

Deoarece accelerația este prima derivată a vitezei în raport cu timpul, avem următoarea ecuație diferențială:

a (t) = v´ (t) = cos t

Rezultă că:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C ₁

Pe de altă parte, știm că viteza este, la rândul ei, derivată a poziției, de aceea ne reintegrăm:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C ₁ ) dt = ∫sen t dt + ∫C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

Constanțele de integrare sunt determinate din informațiile date în enunț. În primul rând, se spune că particulele au fost inițial în repaus, prin urmare v (0) = 0:

v (0) = sin 0 + C ₁ = 0

C ₁ = 0

Atunci avem x (0) = 3:

x (0) = - cos 0 + C ₁ 0 + C ₂ = - 1 + C ₂ = 3 → C ₂ = 3 + 1 = 4

Funcțiile de viteză și poziție sunt cu siguranță astfel:

v (t) = sin t

x (t) = - cos t + 4

Referințe

1. Engler, A. 2019. Calcul integral. Universitatea Națională din Litoral.
2. Larson, R. 2010. Calculul unei variabile. Al 9-lea. Ediție. McGraw Hill.
3. Texte gratuite de matematică. Antiderivatives. Recuperat din: math.liibretexts.org.
4. Wikipedia. Antiderivative. Recuperat de la: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Integrare indefinită. Recuperat de la: es.wikipedia.org.