ISTORIC DE GEOMETRIE ANALITICĂ - MATEMATICA - 2025

În antecedentele istorice ale geometriei analitice du - te înapoi în secolul al XVII - lea, când Pierre de Fermat și Rene Descartes definit ideea fundamentală. Inventia sa a urmat modernizarii algebrei si notatiei algebraice a lui François Viète.

Acest câmp își are bazele în Grecia Antică, în special în lucrările lui Apollonius și Euclid, care au avut o influență mare în această zonă a matematicii.

Ideea esențială din spatele geometriei analitice este aceea că o relație între două variabile, astfel încât una este o funcție a celeilalte, definește o curbă.

Această idee a fost dezvoltată pentru prima dată de Pierre de Fermat. Datorită acestui cadru esențial, Isaac Newton și Gottfried Leibniz au putut dezvolta calculul.

Filozoful francez Descartes a descoperit, de asemenea, o abordare algebrică a geometriei. Lucrarea lui Descartes despre geometrie apare în celebra sa carte „Discurs asupra metodei”.

Această carte subliniază că busola și construcțiile geometrice de margine dreaptă implică adunare, scădere, înmulțire și rădăcini pătrate.

Geometria analitică reprezintă unirea a două tradiții importante în matematică: geometria ca studiu al formei și aritmetica și algebra, care au legătură cu cantitatea sau numerele. Prin urmare, geometria analitică este studiul câmpului geometriei folosind sisteme de coordonate.

Istorie

Fundalul geometriei analitice

Relația dintre geometrie și algebră a evoluat de-a lungul istoriei matematicii, deși geometria a atins o etapă anterioară a maturității.

De exemplu, matematicianul grec Euclid a fost capabil să organizeze multe rezultate în cartea sa clasică The Elements.

Însă, anticul grec Apollonius din Perga a prezis dezvoltarea geometriei analitice în cartea sa Conics. El a definit o conică drept intersecția dintre un con și un plan.

Folosind rezultatele lui Euclid pe triunghiuri și secante similare ale cercurilor, el a găsit o relație dată de distanțele de la orice punct "P" al unui conic la două linii perpendiculare, axa majoră a unei conice și tangenta la un punct final al axei. Apollonius a folosit această relație pentru a deduce proprietățile fundamentale ale conicilor.

Dezvoltarea ulterioară a sistemelor de coordonate în matematică a apărut numai după ce algebra s-a maturizat datorită matematicienilor islamici și indieni.

Până la Renaștere, geometria a fost folosită pentru a justifica soluții la problemele algebrice, dar nu a fost prea mult faptul că algebra ar putea contribui la geometrie.

Această situație s-ar schimba odată cu adoptarea unei notații convenabile pentru relațiile algebice și dezvoltarea conceptului unei funcții matematice, care acum era posibil.

Secolul XVI

La sfârșitul secolului al XVI-lea, matematicianul francez François Viète a introdus prima notație sistematică algebrică, folosind litere pentru a reprezenta cantități numerice, cunoscute și necunoscute.

El a dezvoltat, de asemenea, metode generale puternice pentru lucrarea expresiilor algebice și rezolvarea ecuațiilor algebice.

Datorită acestui lucru, matematicienii nu au fost complet dependenți de figuri geometrice și de intuiția geometrică pentru a rezolva problemele.

Chiar și unii matematicieni au început să abandoneze modul de gândire geometric standard, conform căruia variabilele liniare de lungimi și pătrate corespund zonelor, în timp ce variabilele cubice corespund volumelor.

Primii care au făcut acest pas au fost filosoful și matematicianul René Descartes, și avocatul și matematicianul Pierre de Fermat.

Fundația geometriei analitice

Descartes și Fermat au fondat independent geometria analitică în anii 1630, adoptând algebra lui Viète pentru studiul locusului.

Acești matematicieni și-au dat seama că algebra era un instrument puternic în geometrie și au inventat ceea ce este cunoscut astăzi drept geometrie analitică.

O descoperire pe care au făcut-o a fost să depășească Viète folosind litere pentru a reprezenta distanțe care sunt variabile și nu fixe.

Descartes a folosit ecuații pentru a studia curbele definite geometric și a subliniat necesitatea de a lua în considerare curbele algebraice-grafice generale ale ecuațiilor polinomiale în grade "x" și "y".

La rândul său, Fermat a subliniat că orice relație între coordonatele „x” și „y” determină o curbă.

Folosind aceste idei, el a restructurat afirmațiile lui Apollonius pe termeni algebici și a restaurat o parte din munca sa pierdută.

Fermat a indicat că orice ecuație patratică în „x” și „y” poate fi plasată în forma standard a uneia dintre secțiunile conice. În ciuda acestui fapt, Fermat nu și-a publicat niciodată lucrările pe această temă.

Datorită avansurilor lor, ceea ce arhimede ar putea rezolva doar cu mare dificultate și pentru cazuri izolate, Fermat și Descartes au putut rezolva rapid și pentru un număr mare de curbe (acum cunoscute sub numele de curbe algebrice).

Dar ideile sale au obținut o acceptare generală doar prin eforturile altor matematicieni din a doua jumătate a secolului al XVII-lea.

Matematicienii Frans van Schooten, Florimond de Beaune și Johan de Witt au ajutat la extinderea lucrărilor lui Decartes și au adăugat importante materiale suplimentare.

Influență

În Anglia, John Wallis a popularizat geometria analitică. El a folosit ecuații pentru a defini conicele și pentru a le deriva proprietățile. Deși a folosit în mod liber coordonatele negative, Isaac Newton a folosit două axe oblice pentru a împărți avionul în patru cadrane.

Newton și germanul Gottfried Leibniz au revoluționat matematica la sfârșitul secolului al XVII-lea, demonstrând independent puterea calculului.

Newton a demonstrat importanța metodelor analitice în geometrie și rolul lor în calcul atunci când a afirmat că orice cub (sau orice curbă algebrică de gradul trei) are trei sau patru ecuații standard pentru axe de coordonate adecvate. Cu ajutorul lui Newton, matematicianul scoțian John Stirling a dovedit-o în 1717.

Geometria analitică cu trei și mai multe dimensiuni

Deși atât Descartes, cât și Fermat au sugerat folosirea a trei coordonate pentru a studia curbele și suprafețele din spațiu, geometria analitică tridimensională s-a dezvoltat lent până în 1730.

Matematicienii Euler, Hermann și Clairaut au produs ecuații generale pentru cilindri, conuri și suprafețe de revoluție.

De exemplu, Euler a folosit ecuații pentru traduceri în spațiu pentru a transforma suprafața patratică generală, astfel încât axele sale principale să coincidă cu axele coordonate ale acesteia.

Euler, Joseph-Louis Lagrange și Gaspard Monge au făcut geometria analitică independentă de geometria sintetică (nonanalitică).

Referințe

1. Dezvoltarea geometriei analitice (2001). Recuperat din enciclopedie.com
2. Istoria geometriei analitice (2015). Recuperat de la maa.org
3. Analiză (Matematică). Recuperat de pe britannica.com
4. Geometria analitică. Recuperat de pe britannica.com
5. Descartes și nașterea geometriei analitice. Recuperat de la sciencedirect.com