ANALIZA DIMENSIONALĂ: TEHNICI, PRINCIPIU ȘI EXERCIȚII - FIZIC - 2025

Analiza dimensională este un instrument utilizat pe scară largă în diferite ramuri ale științei și ingineriei pentru a înțelege mai bine fenomenele care implică prezența unor diferite cantități fizice. Cantitățile au dimensiuni și din acestea provin diferite unități de măsură.

Originea conceptului de dimensiune se regăsește în matematicianul francez Joseph Fourier, care a fost cel care a inventat-o. De asemenea, Fourier a înțeles că pentru ca două ecuații să fie comparabile, ele trebuie să fie omogene în ceea ce privește dimensiunile lor. Cu alte cuvinte, contoarele nu pot fi adăugate la kilograme.

Astfel, analiza dimensională este responsabilă de studierea mărimilor, dimensiunilor și omogenității ecuațiilor fizice. Din acest motiv, este frecvent utilizat pentru a verifica relațiile și calculele sau pentru a construi ipoteze pe întrebări complicate care pot fi testate ulterior experimental.

În acest fel, analiza dimensională este un instrument perfect pentru a detecta erorile în calcule verificând congruența sau inconsistența unităților utilizate în ele, punând accent special pe unitățile rezultatelor finale.

În plus, analiza dimensională este utilizată pentru a proiecta experimente sistematice. Permite reducerea experimentelor necesare, precum și facilitarea interpretării rezultatelor obținute.

Una dintre bazele fundamentale ale analizei dimensionale este aceea că este posibilă reprezentarea oricărei cantități fizice ca produs al puterilor unei cantități mai mici, cunoscute sub numele de cantități fundamentale din care sunt derivate celelalte.

Cantitățile fundamentale și formula dimensională

În fizică, cantitățile fundamentale sunt considerate a fi cele care le permit celorlalți să fie exprimate în funcție de acestea. Prin convenție, au fost alese următoarele: lungimea (L), timpul (T), masa (M), intensitatea curentului electric (I), temperatura (θ), intensitatea luminoasă (J) și cantitatea de substanță (N).

Dimpotrivă, restul sunt considerate cantități derivate. Unele dintre acestea sunt: ​​suprafață, volum, densitate, viteză, accelerare, printre altele.

O formulă dimensională este definită drept egalitatea matematică care prezintă relația dintre o cantitate derivată și cele fundamentale.

Tehnici de analiză dimensională

Există diverse tehnici sau metode de analiză dimensională. Două dintre cele mai importante sunt următoarele:

Metoda Rayleigh

Rayleigh, care împreună cu Fourier a fost unul dintre precursorii analizei dimensionale, a dezvoltat o metodă directă și foarte simplă care ne permite să obținem elemente fără dimensiuni. În această metodă sunt urmați următorii pași:

1- Este definită funcția de caracter potențial a variabilei dependente.

2- Fiecare variabilă este modificată de dimensiunile corespunzătoare.

3- Se stabilesc ecuațiile condiției de omogenitate.

4- Se stabilesc np necunoscutele.

5- Se substituie exponenții care au fost calculați și fixați în ecuația potențială.

6- Grupurile de variabile sunt mutate pentru a defini numerele fără dimensiuni.

Metoda Buckingham

Această metodă se bazează pe teorema lui Buckingham sau teorema pi, care afirmă următoarele:

Dacă există o relație dimensională omogenă între un număr „n” de cantități fizice sau variabile în care „p” sunt incluse dimensiuni fundamentale diferite, există, de asemenea, o relație omogenă dimensională între n - p, grupuri nedimensionate independente.

Principiul omogenității dimensionale

Principiul Fourier, cunoscut și sub denumirea de principiul omogenității dimensionale, afectează structurarea corectă a expresiilor care leagă cantitățile fizice în mod algebric.

Este un principiu care are consistență matematică și afirmă că singura opțiune este scăderea sau adăugarea unor cantități fizice care sunt de aceeași natură. Prin urmare, nu este posibil să se adauge o masă cu o lungime, nici un timp cu o suprafață etc.

În mod similar, principiul afirmă că, pentru ca ecuațiile fizice să fie corecte din punct de vedere dimensional, totalitatea termenilor membrilor celor două părți ale egalității trebuie să aibă aceeași dimensiune. Acest principiu face posibilă garantarea coerenței ecuațiilor fizice.

Principiul similarității

Principiul similarității este o extensie a caracterului de omogenitate dimensională a ecuațiilor fizice. Se menționează după cum urmează:

Legile fizice rămân neschimbate atunci când se confruntă cu modificări ale dimensiunilor (mărimii) unui eveniment fizic din același sistem de unități, indiferent dacă este vorba de modificări de natură reală sau imaginară.

Cea mai clară aplicare a principiului similarității apare în analiza proprietăților fizice ale unui model realizat la o scară mai mică, pentru a utiliza ulterior rezultatele la obiect în dimensiune reală.

Această practică este esențială în domenii precum proiectarea și fabricarea de avioane și nave și în lucrări hidraulice mari.

Aplicații

Multe aplicații ale analizei dimensionale includ cele enumerate mai jos.

- Localizați posibile erori în operațiunile efectuate

- Rezolvați problemele a căror rezoluție prezintă unele dificultăți matematice insurmontabile.

- Proiectarea și analizarea modelelor la scară mică.

- Faceți observații despre modul în care modificările posibile influențează un model.

De asemenea, analiza dimensională este folosită destul de frecvent în studiul mecanicii fluidelor.

Relevanța analizei dimensionale în mecanica fluidelor se datorează cât de dificil este stabilirea ecuațiilor în anumite fluxuri, precum și dificultății de rezolvare a acestora, astfel încât este imposibil de realizat relații empirice. Din acest motiv, este necesar să recurgem la metoda experimentală.

Exerciții rezolvate

Primul exercițiu

Găsiți ecuația dimensională pentru viteză și accelerație.

Soluţie

Deoarece v = s / t, este adevărat că: = L / T = L ∙ T ^-1

în mod similar:

a = v / t

= L / T ² = L ∙ T ^-2

Al doilea exercițiu

Determinați ecuația dimensională pentru moment.

Soluţie

Deoarece momentul este produsul masei și vitezei, este adevărat că p = m ∙ v

Asa de:

= M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T ^-2

Referințe

1. Analiza dimensională (nd). Pe Wikipedia. Preluat pe 19 mai 2018, de pe es.wikipedia.org.
2. Analiza dimensională (nd). Pe Wikipedia. Preluat pe 19 mai 2018, de pe en.wikipedia.org.
3. Langhaar, HL (1951), Analiza dimensională și teoria modelelor, Wiley.
4. Fidalgo Sánchez, José Antonio (2005). Fizică și chimie. Everest
5. David C. Cassidy, Gerald James Holton, Floyd James Rutherford (2002). Înțelegerea fizicii. Birkhăuser.