TRAPEZ ISOSCEL: PROPRIETĂȚI, RELAȚII ȘI FORMULE, EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

Un trapez isoscel este un patrulater în care două dintre părți sunt paralele între ele și, în plus, cele două unghiuri adiacente uneia dintre acele laturi paralele au aceeași măsură.

În figura 1 avem patrulaterul ABCD, în care laturile AD și BC sunt paralele. În plus, unghiurile ∠DAB și ∠ADC adiacente laturii paralele AD au aceeași măsură α.

Figura 1. Trapez izoscel. Sursa: F. Zapata.

Deci, acest patrulater, sau poligon cu patru fețe, este de fapt un trapez isoscel.

Într-un trapez, laturile paralele sunt numite baze, iar laturile non-paralele sunt numite laterale. O altă caracteristică importantă este înălțimea, care este distanța care separă laturile paralele.

Pe lângă trapezul izoscel există și alte tipuri de trapez:

-T scalen rapezoid, care are toate unghiurile și laturile diferite.

-Ripozoid dreptunghiular, în care o parte are unghiuri drepte adiacente.

Forma trapezoidală este frecventă în diverse domenii de proiectare, arhitectură, electronică, calcul și multe altele, după cum se va vedea mai târziu. De aici importanța de a familiariza cu proprietățile sale.

Proprietăți

Exclusiv pentru trapezul isoscel

Dacă un trapez este isoscel, atunci are următoarele proprietăți caracteristice:

1.- Părțile au aceeași măsură.

2.- Unghiurile adiacente bazelor sunt egale.

3.- Unghiurile opuse sunt suplimentare.

4.- Diagonalele au aceeași lungime, cele două segmente care se alătură vertexurilor opuse fiind aceleași.

5.- Unghiul format între baze și diagonale sunt toate de aceeași măsură.

6.- Are o circumferință circumscrisă.

În schimb, dacă un trapezoid întâlnește oricare dintre proprietățile de mai sus, atunci este un trapez isoscel.

Dacă într-un trapez isoscel unul dintre unghiuri este drept (90º), atunci și celelalte unghiuri vor fi drepte, formând un dreptunghi. Adică, un dreptunghi este un caz particular al unui trapez isoscel.

Figura 2. Recipientul cu floricele și mesele școlare au forma unui trapez isoscel. Sursa: Pxfuel (stânga) / McDowell Craig via Flickr. (dreapta)

Pentru toata trapezul

Următorul set de proprietăți sunt valabile pentru orice trapez

7.- Mediana trapezului, adică segmentul care unește punctele medii ale laturilor sale non-paralele, este paralelă cu oricare dintre baze.

8.- Lungimea medianei este egală cu semisumul (suma împărțită la 2) a bazei sale.

9.- Mediana unui trapezoid își taie diagonalele la punctul mijlociu.

10.- Diagonalele unui trapezoid se intersectează într-un punct care le împarte în două secțiuni proporționale cu cotele bazelor.

11.- Suma pătratelor diagonalelor unui trapez este egală cu suma pătratelor laturilor sale plus produsul dublu al bazelor sale.

12.- Segmentul care unește punctele mijlocii ale diagonalelor are o lungime egală cu semi-diferența bazelor.

13.- Unghiurile adiacente laturilor sunt suplimentare.

14.- Un trapez are o circumferință înscrisă dacă și numai dacă suma bazelor sale este egală cu suma laturilor sale.

15.- Dacă un trapez are o circumferință înscrisă, atunci unghiurile cu un vertex în centrul circumferinței menționate și laturile care trec prin capetele aceleiași părți sunt unghiuri drepte.

Relații și formule

Următorul set de relații și formule se referă la figura 3, unde pe lângă trapezul izoscel sunt prezentate alte segmente importante deja menționate, cum ar fi diagonalele, înălțimea și mediana.

Figura 3. Mediană, diagonale, înălțime și circumferință circumscrisă într-un trapez isoscel. Sursa: F. Zapata.

Relații unice ale trapezului isoscel

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA și ∡ABC = ∡BCD

3.- ∡DAB + ∡BCD = 180º și ∡CDA + ∡ABC = 180º

4.- BD = AC

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6.- A, B, C și D aparțin cercului circumscris.

Relații pentru orice trapez

1. Dacă AK = KB și DL = LC ⇒ KL - AD și KL - BC

8.- KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 și DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC și DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (AD - BC) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180º și ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- Dacă AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R decât echidistant de la AD, BC, AB și DC

15.- Dacă ∃ R este echidistant din AD, BC, AB și DC, atunci:

∡BRA = ∡DRC = 90º

Relații pentru trapez izoscel cu circumferința înscrisă

Dacă într-un trapez isoscel, suma bazelor este egală cu de două ori laterală, atunci există circumferința înscrisă.

Figura 4. Trapezul cu circumferința înscrisă. Sursa: F. Zapata.

Următoarele proprietăți se aplică atunci când trapezul isoscel are o circumferință înscrisă (vezi figura 4 de mai sus):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- Diagonalele se intersectează în unghi drept: AC ⊥ BD

18.- Înălțimea măsoară aceeași cu mediana: HF = KL, adică h = m.

19.- Pătratul înălțimii este egal cu produsul bazelor: h ² = BC⋅AD

20.- În aceste condiții specifice, suprafața trapezului este egală cu pătratul înălțimii sau produsul bazelor: Suprafață = h ² = BC⋅AD.

Formule pentru determinarea unei părți, cunoașterea celorlalte și un unghi

Cunoscând o bază, laterală și un unghi, cealaltă bază poate fi determinată de:

a = b + 2c Cos α

b = a - 2c Cos α

Dacă lungimea bazelor și un unghi sunt date ca date cunoscute, atunci lungimile ambelor părți sunt:

c = (a - b) / (2 Cos α)

Determinarea unei părți, cunoașterea celorlalte și a unei diagonale

a = (d ₁ ² - c ² ) / b;

b = (d ₁ ² - c ² ) / a

c = √ (d ₁ ² - a⋅b)

Unde d ₁ este lungimea diagonalelor.

Baza de la înălțime, suprafață și altă bază

a = (2 A) / h - b

b = (2 A) / h - a

Bazele laterale, zona și unghiul cunoscute

c = (2A) /

Mediană laterală, zona și unghiul

c = A / (m sin α)

Înălțimea cunoscută a laturilor

h = √

Înălțimea cunoscută un unghi și două laturi

h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. păcat α

Cunoscute diagonale pe toate părțile, sau pe două laturi și un unghi

d ₁ = √ (c ² + ab)

d ₁ = √ (a ² + c ² - 2 ac Cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 bc Cos β)

Perimetrul triunghiului izoscel

P = a + b + 2c

Zona de trapez izoscel

Există mai multe formule pentru calcularea zonei, în funcție de datele cunoscute. Următoarea este cea mai cunoscută, în funcție de baze și înălțime:

A = h⋅ (a + b) / 2

Și puteți folosi aceste altele:

-Dacă părțile sunt cunoscute

A = √

-Cand ai doua laturi si un unghi

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α

-Dacă se cunoaște raza cercului înscris și un unghi

A = 4 r ² / Sen α = 4 r ² / Sen β

-Când se cunosc bazele și unghiul

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

-Dacă trapezul poate fi înscris o circumferință

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

-Cunoașteți diagonalele și unghiul pe care îl formează între ele

A = (d _{1 cu} ² /2) γ = Sen (d _{1 cu} ² /2) Sen rmn

-Cand ai lateralul, mediana si unghiul

A = mc.sen α = mc.sen β

Raza cercului circumscris

Doar trapezii izosceli au o circumferință circumscrisă. Dacă baza mai mare a, c laterală și diagonală d _{1 sunt cunoscute} , atunci raza R a cercului care trece prin cele patru vârfuri ale trapezului este:

R = a⋅c⋅d ₁ / 4√

Unde p = (a + c + d ₁ ) / 2

Exemple de utilizare a trapezului isoscel

Trapezoidul izoscel apare în câmpul de proiectare, așa cum se vede în figura 2. Și aici sunt câteva exemple suplimentare:

În arhitectură și construcție

Vechiul incas cunoștea trapezul isoscel și îl folosea ca element de construcție în această fereastră din Cuzco, Peru:

Figura 5. Fereastra trapezoidală a Coricancha, Cuzco. Sursa: Wikimedia Commons.

Și aici trapezul apare din nou în așa-numita foaie trapezoidală, un material frecvent utilizat în construcție:

Figura 6. Foaie metalică trapezoidală protejând temporar ferestrele unei clădiri. Sursa: Wikimedia Commons.

În proiectare

Am văzut deja că trapezul isoscel apare în obiecte de zi cu zi, inclusiv în alimente precum această bară de ciocolată:

Figura 7. Bara de ciocolată ale cărei fețe au forma unui trapez isoscel. Sursa: Pxfuel.

Exerciții rezolvate

- Exercitiul 1

Un trapez isoscel are o bază mai mare de 9 cm, o bază mai mică de 3 cm, iar diagonalele sale de 8 cm fiecare. Calculati:

a) Partea

b) Înălțimea

c) Perimetrul

d) Zona

Figura 8. Schema de exercițiu 1. Sursa: F. Zapata

Solutie la

Înălțimea CP = h este reprezentată, unde piciorul înălțimii definește segmentele:

PD = x = (ab) / 2 y

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

Folosind teorema lui Pitagore în DPC-ul triunghiului drept:

c ² = h ² + (a - b) ² / cu 4

Și, de asemenea, în dreapta APC triunghi:

d ² = h ² + AP ² = h ² + (a + b) ² / cu 4

În cele din urmă, membru cu membru este scăzut, a doua ecuație din prima și simplificată:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = ab

c ² = d ² - ab ⇒ c = √ (d ² - ab) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6,08 cm

Soluție b

h ² = d ² - (a + b) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ² ) = 8 ² - 6 ² = 28

h = 2 √7 = 5,29 cm

Soluție c

Perimetru = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6.083 = 24.166 cm

Soluție d

Suprafață = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 cm

- Exercițiul 2

Există un trapez isoscel a cărui bază mai mare este de două ori mai mică și baza mai mică este egală cu înălțimea, care este de 6 cm. Decide:

a) Lungimea lateralului

b) Perimetrul

c) Zona

d) Unghiuri

Figura 8. Schema de exercițiu 2. Sursa: F. Zapata

Solutie la

Date: a = 12, b = a / 2 = 6 și h = b = 6

Procedăm după cum urmează: desenăm înălțimea h și aplicăm teorema lui Pitagore pe triunghiul hipotenuză „c” și picioarele h și x:

c ² = h ² + xc ²

Apoi, trebuie să calculați valoarea înălțimii din datele (h = b) și cea a piciorului x:

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

Înlocuind expresiile anterioare avem:

c ² = b ² + (ab) ² /2 ²

Acum se introduc valorile numerice și se simplifică:

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

Obținerea:

c = 3√5 = 6,71 cm

Soluție b

Perimetrul P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm

Soluție c

Zona în funcție de înălțimea și lungimea bazelor este:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cm ²

Soluție d

Unghiul α pe care îl formează lateralul cu baza mai mare este obținut prin trigonometrie:

Tan (α) = h / x = 6/3 = 2

α = ArcTan (2) = 63,44º

Celălalt unghi, cel care formează lateralul cu baza mai mică este β, care este suplimentar cu α:

β = 180º - α = 180º - 63,44º = 116,56º

Referințe

1. EA 2003. Elemente de geometrie: cu exerciții și geometrie a busolei. Universitatea din Medellin.
2. Campos, F. 2014. Matematică 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. 2007. Descoperiți poligonii. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. 2013. Poligoane generalizate. Birkhăuser.
5. IGER. Matematica Primul semestru Tacaná. IGER.
6. Jr. geometrie. 2014. Poligoane. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren și Hornsby. 2006. Matematică: raționament și aplicații. Al 10-lea. Ediție. Pearson Education.
8. Patiño, M. 2006. Matematică 5. Editorial Progreso.
9. Wikipedia. Trapez. Recuperat din: es.wikipedia.com