TEOREMA LUI BOLZANO: EXPLICAȚIE, APLICAȚII ȘI EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

Bolzano Teorema afirmă că , dacă o funcție este continuă în fiecare punct al unui interval închis și este mulțumit că imaginea „a“ și „b“ (în cadrul funcției) au semne opuse, atunci nu va fi de cel puțin un punct " c "în intervalul deschis (a, b), în așa fel încât funcția evaluată în„ c "să fie egală cu 0.

Această teoremă a fost enunțată de filosoful, teologul și matematicianul Bernard Bolzano în 1850. Acest om de știință, născut în actuala Cehie, a fost unul dintre primii matematicieni din istorie care a făcut o dovadă formală a proprietăților funcțiilor continue.

Explicaţie

Teorema lui Bolzano este cunoscută și sub numele de teorema valorilor intermediare, care ajută la determinarea valorilor specifice, în special a zero, a anumitor funcții reale ale unei variabile reale.

Într-o funcție dată f (x) continuă - adică f (a) și f (b) sunt conectate printr-o curbă, unde f (a) este sub axa x (este negativ), iar f (b) cu deasupra axei x (este pozitiv) sau invers, grafic va exista un punct de tăiere pe axa x care va reprezenta o valoare intermediară „c”, care va fi între „a” și „b”, și valoarea lui f (c) va fi egal cu 0.

Când analizăm grafic teorema lui Bolzano, se poate observa că pentru fiecare funcție continuă f definită pe un interval, unde f (a) _* f (b) este mai mică de 0, va exista cel puțin o rădăcină «c» a funcției respective a intervalului (a, b).

Această teoremă nu stabilește numărul de puncte în acel interval deschis, ci doar că există cel puțin 1 punct.

Demonstrație

Pentru a demonstra teorema lui Bolzano, se presupune fără pierdere de generalitate că f (a) <0 și f (b)> 0; astfel, pot exista numeroase valori între „a” și „b” pentru care f (x) = 0, dar trebuie afișată doar una.

Începem prin evaluarea f din punctul mediu (a + b) / 2. Dacă f ((a + b) / 2) = 0 atunci dovada se termină aici; altfel, atunci f ((a + b) / 2) este pozitiv sau negativ.

Se alege una dintre jumătățile intervalului, astfel încât semnele funcției evaluate la extreme sunt diferite. Acest nou interval va fi.

Acum, dacă f evaluat la punctul de mijloc al lui nu este zero, atunci se efectuează aceeași operație ca înainte; adică se alege o jumătate din acest interval care îndeplinește condiția semnelor. Să fie acesta noul interval.

Dacă continuați cu acest proces, atunci veți avea două secvențe {an} și {bn}, astfel încât:

{an} este în creștere și {bn} scade:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ … ≤ an ≤ …. ≤ …. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Dacă calculați lungimea fiecărui interval, va trebui să:

b1-a1 = (ba) / 2.

b2-a2 = (ba) / 2².

….

bn-an = (ba) / 2 ^ n.

Prin urmare, limita pe măsură ce n se apropie de infinitul lui (bn-an) este egală cu 0.

Folosind acel {an} este în creștere și delimitare și {bn} este în scădere și delimitat, avem că există o valoare „c” astfel încât:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ … ≤ an ≤ … .≤ c ≤ … ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Limita lui este „c”, iar limita lui {bn} este, de asemenea, „c”. Prin urmare, având în vedere orice δ> 0, există întotdeauna o "n" astfel încât intervalul să fie conținut în intervalul (c-δ, c + δ).

Acum, trebuie să se arate că f (c) = 0.

Dacă f (c)> 0, atunci întrucât f este continuă, există un ε> 0 astfel încât f să fie pozitiv pe întregul interval (c - ε, c + ε). Cu toate acestea, așa cum am menționat mai sus, există o valoare "n", astfel încât f se schimbă conectarea și, în plus, este conținută în (c - ε, c + ε), ceea ce este o contradicție.

Dacă f (c) <0, atunci întrucât f este continuă, există un ε> 0 astfel încât f să fie negativ pe întregul interval (c - ε, c + ε); dar există o valoare "n", astfel încât f să se schimbe. Se dovedește că este conținut în (c - ε, c + ε), ceea ce este, de asemenea, o contradicție.

Prin urmare, f (c) = 0 și asta am dorit să dovedim.

Pentru ce este?

Din interpretarea sa grafică, teorema lui Bolzano este folosită pentru a găsi rădăcini sau zerouri într-o funcție continuă, prin bisecție (aproximare), care este o metodă de căutare incrementală care împarte întotdeauna intervalele cu 2.

Apoi se ia un interval sau unde are loc schimbarea semnului și procesul se repetă până când intervalul este mai mic și mai mic, pentru a putea aborda valoarea dorită; adică la valoarea pe care o face funcția 0.

În rezumat, pentru a aplica teorema lui Bolzano și a găsi astfel rădăcinile, a limita zerourile unei funcții sau a da o soluție la o ecuație, se efectuează următorii pași:

- Se verifică dacă f este o funcție continuă pe interval.

- Dacă intervalul nu este dat, trebuie să se găsească acolo unde funcția este continuă.

- Se verifică dacă extremele intervalului dau semne opuse atunci când sunt evaluate în f.

- Dacă nu se obțin semne opuse, intervalul trebuie împărțit în două subintervale folosind punctul mediu.

- Evaluați funcția la punctul mijlociu și verificați dacă ipoteza Bolzano este satisfăcută, unde f (a) _* f (b) <0.

- În funcție de semnul (pozitiv sau negativ) al valorii găsite, procesul se repetă cu o nouă subintervală până la îndeplinirea ipotezei menționate anterior.

Exerciții rezolvate

Exercitiul 1

Determinați dacă funcția f (x) = x ² - 2, are cel puțin o soluție reală în interval.

Soluţie

Avem funcția f (x) = x ² - 2. Deoarece este polinomial, înseamnă că este continuă în orice interval.

I se cere să stabilească dacă are o soluție reală în interval, astfel încât acum este necesară doar înlocuirea extremelor intervalului în funcție pentru a cunoaște semnul acestora și pentru a ști dacă îndeplinesc condiția de a fi diferite:

f (x) = x ² - 2

f (1) = 1 ² - 2 = -1 (negativ)

f (2) = 2 ² - 2 = 2 (pozitiv)

Prin urmare, semnul f (1) ≠ semn f (2).

Acest lucru asigură că există cel puțin un punct "c" care aparține intervalului, în care f (c) = 0.

În acest caz, valoarea „c” poate fi ușor calculată după cum urmează:

x ² - 2 = 0

x = ± √2.

Astfel, √2 ≈ 1,4 aparține intervalului și îndeplinește faptul că f (√2) = 0.

Exercițiul 2

Arătați că ecuația x ⁵ + x + 1 = 0 are cel puțin o soluție reală.

Soluţie

Să observăm mai întâi că f (x) = x ⁵ + x + 1 este o funcție polinomială, ceea ce înseamnă că este continuă pe toate numerele reale.

În acest caz, nu se acordă niciun interval, deci valorile trebuie alese intuitiv, de preferință aproape de 0, pentru a evalua funcția și a găsi modificările semnului:

Dacă utilizați intervalul, trebuie să:

f (x) = x ⁵ + x + 1.

f (0) = 0 ⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1 ⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Cum nu există nicio schimbare de semn, procesul se repetă cu un alt interval.

Dacă utilizați intervalul, trebuie să:

f (x) = x ⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1) ⁵ + (-1) + 1 = -1 <0.

f (0) = 0 ⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

În acest interval există o schimbare de semn: semnul f (-1) ≠ semnul f (0), ceea ce înseamnă că funcția f (x) = x ⁵ + x + 1 are cel puțin o rădăcină reală «c» în interval, astfel încât f (c) = 0. Cu alte cuvinte, este adevărat că x ⁵ + x + 1 = 0 are o soluție reală în interval.

Referințe

1. Bronshtein I, SK (1988). Manual de matematică pentru ingineri și studenți. . Editorial MIR.
2. George, A. (1994). Matematică și minte. Presa Universitatii Oxford.
3. Ilín V, PE (1991). Analiza matematică. În trei volume. .
4. Jesús Gómez, FG (2003). Profesori de învățământ secundar. Volumul II. NEBUN.
5. Mateos, ML (2013). Proprietățile de bază ale analizei în R. Editores, 20 decembrie.
6. Piskunov, N. (1980). Calcul diferențial și integral. .
7. Sydsaeter K, HP (2005). Matematică pentru analiză economică. Felix Varela.
8. William H. Barker, RH (nd). Simetrie continuă: De la Euclid la Klein. Soc matematic american.