REGULA LUI SIMPSON: FORMULĂ, DOVADĂ, EXEMPLE, EXERCIȚII - MATEMATICA - 2024

Simpson e regula este o metodă de calcul, integralelor aproximativ, definite. Se bazează pe împărțirea intervalului de integrare într-un număr egal de sub-intervale la fel de distanțate.

Valorile extreme ale a două sub-intervale consecutive definesc trei puncte, prin care se potrivește o parabolă, a cărei ecuație este un polinom de gradul doi.

Figura 1. În metoda Simpson, intervalul de integrare este împărțit într-un număr egal de intervale de lățime egală. Funcția este aproximată de o parabolă la fiecare 2 sub-intervale și integrala este aproximată de suma suprafeței de sub parabolă. Sursa: upv.es.

Apoi zona sub curba funcției în cele două intervale consecutive este aproximată de aria polinomului de interpolare. Adăugând contribuția la zona de sub parabola tuturor subintervalorilor succesive, avem valoarea aproximativă a integralei.

Pe de altă parte, din moment ce integralul unei parabole poate fi calculat algebric exact, atunci este posibil să se găsească o formulă analitică pentru valoarea aproximativă a integralului definit. Este cunoscută sub numele de formula Simpson.

Eroarea rezultatului aproximativ obținut astfel scade pe măsură ce numărul subdiviziunilor n este mai mare (unde n este un număr egal).

Mai jos va fi prezentată o expresie care permite estimarea legăturii superioare a erorii de aproximare la integrala I, când s-a făcut o partiție de n subintervale regulate ale intervalului total.

Formulă

Intervalul de integrare este subdivizat în n subintervale cu n fiind un număr întreg egal. Lățimea fiecărei subdiviziuni va fi:

h = (b - a) / n

În acest fel, partiția se face pe interval:

{X0, X1, X2, …, Xn-1, Xn}

Unde X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h, …, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.

Formula care permite aproximarea integralei I definite a funcției continue și, de preferință netedă, în interval este:

Demonstrație

Pentru a obține formula Simpson, în fiecare subintervală funcția f (X) este aproximată de un polinom de p (X) (parabola) de gradul doi care trece prin cele trei puncte:; și .

Apoi, se integrează integrala polinomului p (x) în care aproximează integralitatea funcției f (X) din acel interval.

Figura 2. Grafic pentru a demonstra formula Simpson. Sursa: F. Zapata.

Coeficienții polinomului de interpolare

Ecuația parabolei p (X) are forma generală: p (X) = AX ² + BX + C. Pe măsură ce parabola trece prin punctele Q indicate în roșu (vezi figura), atunci coeficienții A, B, C sunt determinate din următorul sistem de ecuații:

A (-h) ² - B h + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

A (h) ² + B h + C = f (Xi + 2)

Se poate observa că coeficientul C este determinat. Pentru a determina coeficientul A adăugăm prima și a treia ecuație obținând:

2 A h ² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

Apoi, valoarea lui C este înlocuită și A este curățată, lăsând:

A = / (2 h ² )

Pentru a determina coeficientul B, a treia ecuație se scade din prima și B se rezolvă, obținându-se:

B = = 2 h.

În rezumat, polinomul de gradul doi p (X) care trece prin punctele Qi, Qi + 1 și Qi + 2 are coeficienți:

A = / (2 h ² )

B = = 2 h

C = f (Xi + 1)

Calculul integralului aproximativ în

Calculul aproximativ al integralului în

Așa cum am menționat deja, o partiție {X0, X1, X2, …, Xn-1, Xn} se face pe intervalul de integrare total cu pasul h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n, unde n este un număr egal.

Eroare de aproximare

Rețineți că eroarea scade odată cu a patra putere a numărului de subdiviziuni din interval. De exemplu, dacă treceți de la n subdiviziuni la 2n, eroarea scade cu un factor 1/16.

Limita superioară a erorii obținute prin aproximarea lui Simpson poate fi obținută din aceeași formulă, înlocuind a patra derivată pentru valoarea maximă absolută a celui de-al patrulea derivat din interval.

Exemple lucrate

- Exemplul 1

Luați în considerare funcția f (X) = 1 / (1 + X ² ).

Găsiți integrala definitivă a funcției f (X) pe interval folosind metoda Simpson cu două subdiviziuni (n = 2).

Soluţie

Luăm n = 2. Limitele integrării sunt a = -1 și b = -2, deci partiția arată astfel:

X0 = -1; X1 = 0 și X2 = +1.

Prin urmare, formula Simpson ia următoarea formă:

Figura 3. Exemplu de integrare numerică după regula lui Simpson folosind software. Sursa: F. Zapata.

Referințe

1. Casteleiro, JM 2002. Calcul complet (ediție ilustrată). Madrid: ESIC Editorial.
2. UPV. Metoda lui Simpson. Universitatea Politehnică din Valencia. Recuperat de pe: youtube.com
3. Purcell, E. 2007. Ediția a noua a Calculului. Sala Prentice.
4. Wikipedia. Regula lui Simpson. Recuperat din: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Interpolarea polinomială Lagrange. Recuperat din: es.wikipedia.com