NUMERE REALE: ISTORIC, EXEMPLE, PROPRIETĂȚI, OPERAȚII - MATEMATICA - 2025

Cele Numerele reale constituie setul numeric , care include numerele naturale, numere întregi, rațional și irațional. Acestea sunt notate cu simbolul ℝ sau pur și simplu R, iar sfera lor de știință, inginerie și economie este de așa natură încât, atunci când vorbim de „număr”, se consideră aproape că este un număr real.

Numerele reale au fost folosite din cele mai vechi timpuri, deși nu li s-a dat acest nume. Din momentul în care Pitagora și-a dezvoltat faimoasa teoremă, au apărut numere care nu puteau fi obținute ca cotiți ai numerelor naturale sau întregi.

Figura 1. Diagrama lui Venn care arată modul în care setul de numere reale conține celelalte seturi de numere. Sursa> Wikimedia Commons.

Exemple de numere sunt √2, √3 și π. Aceste numere sunt numite iraționale, spre deosebire de numere raționale, care provin din cotiții numerelor întregi. Prin urmare, a fost necesar un set numeric care să cuprindă ambele clase de numere.

Termenul „număr real” a fost creat de marele matematician René Descartes (1596-1650), pentru a distinge cele două tipuri de rădăcini care pot apărea din rezolvarea unei ecuații polinomiale.

Unele dintre aceste rădăcini pot fi chiar rădăcini de numere negative, Descartes a numit aceste „numere imaginare”, iar cele care nu erau, erau numere reale.

Denumirea a persistat de-a lungul timpului, dând naștere la două seturi numerice mari: numerele reale și numerele complexe, un set mai mare care include numere reale, numere imaginare și cele care fac parte real și parte imaginară.

Evoluția numerelor reale și-a continuat cursul până în 1872, matematicianul Richard Dedekind (1831-1936) a definit formal setul de numere reale prin așa-numitele tăieri ale lui Dedekind. Sinteza operei sale a fost publicată într-un articol care a văzut lumina în același an.

Exemple de numere reale

Tabelul de mai jos prezintă exemple de numere reale. Acest set are ca subseturi numerele naturale, numărul întreg, raționalul și iraționalul. Orice număr dintre aceste seturi este, în sine, un număr real.

Prin urmare, 0, negative, pozitive, fracții și zecimale sunt numere reale.

Figura 2. Exemple de numere reale sunt naturale, întregi, raționale, iraționale și transcendente. Sursa: F. Zapata.

Reprezentarea numerelor reale pe linia reală

Numerele reale pot fi reprezentate pe linia reală R , așa cum se arată în figură. Nu este necesar ca 0 să fie întotdeauna prezent, însă este convenabil să știm că realele negative sunt la stânga și cele pozitive la dreapta. Acesta este motivul pentru care este un excelent punct de referință.

Pe linia reală, se ia o scară în care se găsesc numerele întregi: … 3, -2, -1, 1, 2, 3 …. Săgeata indică faptul că linia se extinde până la infinit. Dar asta nu este totul, în orice interval considerat, vom găsi întotdeauna și numere reale infinite.

Numerele reale sunt reprezentate în ordine. Pentru început, există ordinea numerelor întregi, în care pozitivele sunt întotdeauna mai mari decât 0, în timp ce negativele sunt mai mici.

Această ordine este păstrată în numere reale. Următoarele inegalități sunt prezentate ca exemplu:

a) -1/2 <√2

b) e <π

c) π> -1/2

Figura 3.- Linia reală. Sursa: Wikimedia Commons.

Proprietăți ale numerelor reale

-Numerele reale includ numere naturale, numere întregi, numere raționale și numere iraționale.

-Proprietatea comutativă de adăugare este îndeplinită: ordinea completărilor nu modifică suma. Dacă a și b sunt două numere reale, este întotdeauna adevărat că:

a + b = b + a

-0 este elementul neutru al sumei: a + 0 = a

-Pentru suma proprietatea asociativă este îndeplinită. Dacă a, b și c sunt numere reale: (a + b) + c = a + (b + c).

-Potrivul unui număr real de este -a

-Subracția este definită ca suma contrariului: a - b = a + (-b).

-Proprietatea comutativă a produsului este îndeplinită: ordinea factorilor nu modifică produsul: ab = ba

-În produs se aplică și proprietatea asociativă: (ab) .c = a. (Bc)

-1 este elementul neutru al înmulțirii: a.1 = a

-Proprietatea distributivă a înmulțirii este valabilă în ceea ce privește adăugarea: a. (b + c) = ab + ac

-Diviziunea cu 0 nu este definită.

-Oricine număr real a, cu excepția 0, are o inversă multiplicativă de ^-1 astfel încât aa ^-1 = 1.

-Dacă a este un număr real: a ⁰ = 1 și a ¹ = a.

-Valoarea absolută sau modulul unui număr real este distanța dintre numărul menționat și 0.

Operațiuni cu numere reale

Cu numerele reale puteți efectua operațiunile care se fac cu celelalte seturi numerice, inclusiv adunarea, scăderea, înmulțirea, divizarea, împuternicirea, radicația, logaritmele și multe altele.

Ca întotdeauna, împărțirea cu 0 nu este definită, nici logaritmele numerelor negative sau 0, deși este adevărat că log 1 = 0 și că logaritmele numerelor între 0 și 1 sunt negative.

Aplicații

Aplicațiile numerelor reale pentru tot felul de situații sunt extrem de variate. Numerele reale apar ca răspunsuri la multe probleme în științele exacte, informatică, inginerie, economie și științe sociale.

Tot felul de mărimi și cantități, cum ar fi distanțele, orele, forțele, intensitatea sunetului, banii și multe altele, își exprimă în număr real.

Transmiterea semnalelor telefonice, imaginea și sunetul unui videoclip, temperatura unui aparat de aer condiționat, un încălzitor sau un frigider pot fi controlate digital, ceea ce înseamnă transformarea cantităților fizice în secvențe numerice.

La fel se întâmplă și atunci când efectuați o tranzacție bancară pe Internet sau consultați mesagerie instantanee. Numerele reale sunt peste tot.

Exercițiu rezolvat

Vom vedea cu exerciții cum funcționează aceste numere în situații comune pe care le întâlnim zilnic.

Exercitiul 1

Oficiul poștal acceptă doar pachete pentru care lungimea, plus măsurarea circumferinței, nu depășește 108 centimetri. Prin urmare, pentru ca pachetul afișat să fie acceptat, trebuie să fie îndeplinit faptul că:

L + 2 (x + y) ≤ 108

a) Va face un pachet care este de 6 centimetri lățime, 8 cm înălțime și 5 metri lungime?

b) Ce zici de unul care măsoară 2 x 2 x 4 ft ³ ?

c) Care este cea mai mare înălțime acceptabilă pentru un pachet a cărui bază este pătrată și măsoară 9 x 9 inci ² ?

Raspunde la

L = 5 picioare = 60 inci

x = 6 inci

y = 8 inci

Operațiunea de rezolvat este:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) inch = 60 + 2 x 14 inch = 60 + 28 inch = 88 inch

Pachetul este acceptat.

Răspuns b

Dimensiunile acestui pachet sunt mai mici decât pachetul a), așa că ambele o realizează.

Raspunde c

În acest pachet:

x = L = 9 inci

Trebuie observat că:

9+ 2 (9 + y) ≤ 108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

și ≤ 40,5 inci

Referințe

1. Carena, M. 2019. Manual de matematică preuniversitară. Universitatea Națională din Litoral.
2. Diego, A. Numere reale și proprietățile lor. Recuperat din: matematica.uns.edu.ar.
3. Figuera, J. 2000. Matematica 9. Gradul. Ediții CO-BO.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Sala Prentice.
5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Matematica pentru calcul. 5-a. Ediție. Cengage Learning.