FACTOR COMUN PRIN GRUPAREA TERMENILOR: EXEMPLE, EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

Factorul comun prin gruparea termenilor este o procedură algebrică care vă permite să scrie niște expresii algebrice sub formă de factori. Pentru a atinge acest obiectiv, trebuie mai întâi să grupezi corect expresia și să observi că fiecare grup astfel format are, de fapt, un factor comun.

Aplicarea corectă a tehnicii necesită practică, dar în cel mai scurt timp nu o stăpânești. Să analizăm mai întâi un exemplu ilustrativ descris pas cu pas. Apoi, cititorul poate aplica ceea ce a învățat în fiecare dintre exercițiile care vor apărea mai târziu.

Figura 1. Luarea unui factor comun prin gruparea termenilor face mai ușoară lucrarea cu expresii algebrice. Sursa: Pixabay.

De exemplu, presupunem că trebuie să factorizați următoarea expresie:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Această expresie algebrică este formată din 4 monomiale sau termeni, separați prin semne + și - și anume:

2x ² , 2xy, -3zx, -3zy

Privind îndeaproape, x este comună pentru primele trei, dar nu pentru ultima, în timp ce y este comună pentru a doua și a patra, iar z este comună pentru a treia și a patra.

Deci, în principiu, nu există un factor comun pentru cei patru termeni în același timp, dar dacă sunt grupați așa cum se va arăta în secțiunea următoare, este posibil să apară unul care ajută la scrierea expresiei ca fiind produsul a doi sau mai mulți factori.

Exemple

Factor expresia: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Pasul 1 : grup

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

Pasul 2: Găsiți factorul comun al fiecărui grup

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

Sunt important : semnul negativ este, de asemenea, un factor comun care trebuie luat în considerare.

Acum rețineți că parantezele (x + y) se repetă în cei doi termeni obținuți prin grupare. Acesta este factorul comun căutat.

Pasul 3: Factorizează întreaga expresie

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

Cu rezultatul anterior, obiectivul factoringului a fost atins, care nu este altceva decât transformarea unei expresii algebice bazate pe adaosuri și scăderi de termeni, în produsul a doi sau mai mulți factori, în exemplul nostru, de: (x + y) și (2x - 3z).

Întrebări importante despre factorul comun prin grupare

Întrebarea 1 : Cum să știi că rezultatul este corect?

Răspuns : Proprietatea distributivă se aplică rezultatului obținut și după reducere și simplificare, expresia astfel obținută trebuie să se potrivească cu originalul, dacă nu, există o eroare.

În exemplul precedent, lucrăm invers cu rezultatul, pentru a verifica dacă acesta este corect:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

Întrucât ordinea completărilor nu modifică suma, după aplicarea proprietății distributive, toți termenii originali sunt returnați, semnele incluse, prin urmare, factorizarea este corectă.

Întrebarea 2: Ar fi putut fi grupată în alt mod?

Răspuns: Există expresii algebrice care permit mai multe forme de grupare și altele care nu. În exemplul selectat, cititorul poate încerca singur alte posibilități, de exemplu gruparea astfel:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

Și puteți verifica dacă rezultatul este același cu cel obținut aici. Găsirea grupării optime este o problemă de practică.

Întrebarea 3: De ce este necesar să luăm un factor comun dintr-o expresie algebrică?

Răspuns : Deoarece există aplicații în care expresia factorizată facilitează calculele. De exemplu, să presupunem că doriți să faceți 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy egal cu 0. Care sunt posibilitățile?

Pentru a răspunde la această întrebare, versiunea considerată este mult mai utilă decât dezvoltarea inițială în termeni. Se afirmă astfel:

(x + y) (2x - 3z) = 0

O posibilitate ca expresia să fie 0 este aceea că x = -y, indiferent de valoarea lui z. Iar cealaltă este că x = (3/2) z, indiferent de valoarea y.

Exerciții

- Exercitiul 1

Extrageți factorul comun al expresiei următoare prin gruparea termenilor:

ax + ay + bx + by

Soluţie

Primii doi sunt grupați, cu factorul comun "a" și ultimii doi cu factorul comun "b":

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y)

Odată făcut acest lucru, este dezvăluit un nou factor comun, care este (x + y), astfel încât:

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

Un alt mod de a grupa

Această expresie acceptă un alt mod de grupare. Să vedem ce se întâmplă dacă termenii sunt rearanjați și se face un grup cu cei care conțin x și altul cu cei care conțin y:

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)

În acest fel noul factor comun este (a + b):

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

Ceea ce duce la același rezultat din prima grupare testată.

- Exercițiul 2

Următoarea expresie algebrică trebuie să fie scrisă ca produs al doi factori:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ²

Soluţie

Această expresie conține 6 termeni. Să încercăm să grupeze primul și al patrulea, al doilea și al treilea și, în sfârșit, al cincilea și al șaselea:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab-3b ² )

Acum, fiecare paranteză este considerată:

= (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab -3b ² ) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b)

La prima vedere, se pare că situația a fost complicată, dar cititorul nu trebuie descurajat, deoarece vom rescrie ultimul termen:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

Ultimii doi termeni au acum un factor comun, care este (3b-a), deci pot fi luați în considerare. Este foarte important să nu pierdeți din vedere primul termen ² (3a - 1), care trebuie să însoțească în continuare totul ca adaos, chiar dacă nu lucrați cu acesta:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

Expresia a fost redusă la doi termeni și un nou factor comun este descoperit în ultimul, care este „b”. Acum rămâne:

a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)

Următorul factor comun care apare este 3a - 1:

a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)

Sau dacă preferi fără paranteze:

(3a - 1) = (3a - 1) (a ² –ab + 3b ² )

Poate cititorul să găsească un alt mod de grupare care să conducă la același rezultat?

Figura 2. Exerciții de factoring propuse. Sursa: F. Zapata.

Referințe

1. Baldor, A. 1974. Algebră elementară. Cultural Venezolana SA
2. Jiménez, R. 2008. Algebra. Sala Prentice.
3. Cazurile principale de factoring. Recuperat de la: julioprofe.net.
4. UNAM. Matematica de bază: Factorizare prin gruparea termenilor. Facultatea de Contabilitate și Administrare.
5. Zill, D. 1984. Algebră și trigonometrie. MacGraw Hill.