REDUCEREA TERMENILOR SIMILARI (CU EXERCIȚII REZOLVATE) - MATEMATICA - 2025

Reducerea acestor termeni este o metodă utilizată pentru a simplifica expresii algebrice. Într-o expresie algebrică, termenii similari sunt aceia care au aceeași variabilă; adică au aceleași necunoscute reprezentate de o literă, iar acestea au aceiași exponenți.

În unele cazuri, polinoamele sunt extinse și pentru a ajunge la o soluție trebuie încercat să reducem expresia; Acest lucru este posibil atunci când există termeni similari, care pot fi combinați prin aplicarea operațiilor și a proprietăților algebice, cum ar fi adunarea, scăderea, înmulțirea și divizarea.

Explicaţie

Termenii similari sunt alcătuiți din aceleași variabile cu aceiași exponenți, iar în unele cazuri aceștia sunt diferențiați doar de coeficienții lor numerici.

Termenii similari sunt de asemenea considerați cei care nu au variabile; adică acei termeni care au doar constante. Deci, de exemplu, următorii termeni sunt ca termeni:

- 6x ² - 3x ² . Ambii termeni au aceeași variabilă x ² .

- 4a ² b ³ + 2a ² b ³ . Ambii termeni au aceleași variabile a ² b ³ .

- 7 - 6. Termenii sunt constanți.

Acei termeni care au aceleași variabile, dar cu exponenți diferiți, sunt numiți termeni diferiți, cum ar fi:

- 9a ² b + 5ab. Variabilele au exponenți diferiți.

- 5x + y. Variabilele sunt diferite.

- b - 8. Un termen are o variabilă, celălalt este o constantă.

Identificând termenii similari care formează un polinom, aceștia se pot reduce la unul, combinând toți cei care au aceleași variabile cu aceiași exponenți. În acest fel, expresia este simplificată prin reducerea numărului de termeni care o compun și este facilitat calculul soluției sale.

Cum se face o reducere a termenilor similari?

Reducerea termenilor similari se face prin aplicarea proprietății asociative a adaosului și a proprietății distributive a produsului. Folosind procedura următoare, se poate face o reducere a termenului:

- În primul rând, asemenea termenilor sunt grupați.

- Se adaugă sau scade coeficienții (numerele care însoțesc variabilele) termenilor similari și se aplică proprietățile asociative, comutative sau distributive, după caz.

- Apoi se scriu noii termeni obținuți, așezându-se în fața lor semnul rezultat din operație.

Exemplu

Reduceți termenii expresiei următoare: 10x + 3y + 4x + 5y.

Soluţie

În primul rând, termenii sunt ordonați să grupeze aceia care sunt similari, aplicând proprietatea comutativă:

10x + 3y + 4x + 5y = 10x + 4x + 3y + 5y.

Apoi se aplică proprietatea distributivă și se adaugă coeficienții care însoțesc variabilele pentru a obține reducerea termenilor:

10x + 4x + 3y + 5y

= (10 + 4) x + (3 + 5) y

= 14x + 8y.

Pentru a reduce termenii similari, este important să se țină seama de semnele coeficienților care însoțesc variabila. Există trei cazuri posibile:

Reducerea termenilor similari cu semne egale

În acest caz, coeficienții sunt adăugați și semnul termenilor este plasat în fața rezultatului. Prin urmare, dacă sunt pozitivi, termenii rezultați vor fi pozitivi; în cazul în care termenii sunt negativi, rezultatul va avea semnul (-) însoțit de variabilă. De exemplu:

a) 22ab ² + 12ab ² = 34 ab ² .

b) -18x ³ - 9x ³ - 6 = -27x ³ - 6.

Reducerea termenilor similari c

În acest caz, coeficienții sunt scăzuți, iar semnul celui mai mare coeficient este plasat în fața rezultatului. De exemplu:

a) 15x ² y - 4x ² y + 6x ² y - 11x ² y

= (15x ² y + 6x ² y) + (- 4x ² y - 11x ² y)

= 21x ² y + (-15x ² y)

= 21x ² y - 15x ² y

= 6x ² și.

b) -5a ³ b + 3 a ³ b - 4a ³ b + a ³ b

= (3 a ³ b + a ³ b) + (-5a ³ b - 4a ³ b)

= 4a ³ b - 9a ³ b

= -5 până la ³ b.

În acest fel, pentru a reduce termeni similari care au semne diferite, se formează un singur termen aditiv cu toți cei care au un semn pozitiv (+), se adaugă coeficienții, iar rezultatul este însoțit de variabile.

În același mod, se formează un termen subtractiv, cu toți acei termeni care au un semn negativ (-), se adaugă coeficienții, iar rezultatul este însoțit de variabile.

În cele din urmă, sumele celor doi termeni formați se scad, iar semnul mai mare este plasat pe rezultat.

Reducerea termenilor similari în operațiuni

Reducerea termenilor similari este o operație a algebrei, care poate fi aplicată în plus, scădere, înmulțire și diviziune algebrică.

În sume

Când aveți mai mulți polinomi cu termeni similari, pentru a le reduce, termenii fiecărui polinom sunt ordonați să păstreze semnele lor, atunci aceștia sunt scrise unul după altul și termenii similari se reduc. De exemplu, avem următoarele polinomii:

3x - 4xy + 7x ² și + 5xy ² .

- 6x ² y - 2xy + 9 xy ² - 8x.

În scădere

Pentru a scădea un polinom de la altul, se scrie minuendul și apoi se modifică subtrahendul cu semnele sale, apoi se face reducerea termenilor similari. De exemplu:

5a ³ - 3ab ² + 3b ² c

6ab ² + 2a ³ - 8b ² c

Astfel, polinoamele sunt rezumate la 3a ³ - 9ab ² + 11b ² c.

În multiplicări

Într-un produs al polinoamelor, termenii care alcătuiesc multiplicand se înmulțesc cu fiecare termen care alcătuiește multiplicatorul, considerând că semnele înmulțirii rămân aceleași dacă sunt pozitive.

Acestea vor fi modificate numai atunci când sunt înmulțite cu un termen care este negativ; adică atunci când doi termeni ai aceluiași semn sunt înmulțiți, rezultatul va fi pozitiv (+), iar atunci când au semne diferite, rezultatul va fi negativ (-).

De exemplu:

a) (a + b) _* (a + b)

= a ² + ab + ab + b ²

= a ² + 2ab + b ² .

b) (a + b) _* (a - b)

= a ² - ab + ab - b ²

= a ² - b ² .

c) (a - b) _* (a - b)

= a ² - ab - ab + b ²

= a ² - 2ab + b ² .

În diviziuni

Când doriți să reduceți două polinomii printr-o diviziune, trebuie să găsiți un al treilea polinom care, înmulțit cu al doilea (divizor), are ca rezultat primul polinom (dividend).

Pentru aceasta, termenii dividendului și împărțitorului trebuie să fie ordonați, de la stânga la dreapta, astfel încât variabilele din ambele să fie în aceeași ordine.

Apoi se împarte divizarea, pornind de la primul termen din stânga dividendului de primul termen din stânga divizorului, ținând cont întotdeauna de semnele fiecărui termen.

De exemplu, reduceți polinomul: 10x ⁴ - 48x ³ y + 51x ² și ² + 4xy ³ - 15y ⁴ împărțindu-l la polinom: -5x ² + 4xy + 3y ² .

Polinomul rezultat este -2x ² + 8xy - 5y ² .

Exerciții rezolvate

Primul exercițiu

Reduceți termenii expresiei algebrice date:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab - 9 + 4a ² - 13 ab.

Soluţie

Proprietatea comutativă de adăugare este aplicată, grupând termenii care au aceleași variabile:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= (15a ² + 6a ² + 4a ² ) + (- 8ab - 6ab) + (9 - 13).

Apoi se aplică proprietatea distributivă a înmulțirii:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= (15 + 6 + 4) a ² + (- 8 - 6) ab + (9 - 13).

În cele din urmă, acestea sunt simplificate prin adăugarea și scăderea coeficienților fiecărui termen:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= 25a ² - 14ab - 4.

Al doilea exercițiu

Simplificați produsul următoarelor polinoame:

(8x ³ + 7xy ² ) _* (8x ³ - 7 xy ² ).

Soluţie

Fiecare termen al primului polinom este înmulțit cu al doilea, ținând cont că semnele termenilor sunt diferite; prin urmare, rezultatul înmulțirii sale va fi negativ, precum și legile exponenților trebuie aplicate.

(8x ³ + 7xy ² ) _* (8x ³ - 7xy ² )

= 64 x ⁶ - 56 x ³ _* xy ² + 56 x ³ _* xy ² - 49 x ² y ⁴

= 64 x ⁶ - 49 x ² y ⁴ .

Referințe

1. Angel, AR (2007). Algebra elementară. Pearson Education ,.
2. Baldor, A. (1941). Algebră. Havana: cultură.
3. Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Algebra elementară și intermediară: o abordare combinată. Florida: Cengage Learning.
4. Smith, SA (2000). Algebră. Pearson Education.
5. Vigil, C. (2015). Algebra și aplicațiile sale.