NUMERE IMAGINARE: PROPRIETĂȚI, APLICAȚII, EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

Cele Numerele imaginare sunt cele care rezolvă ecuația în care necunoscutul, ridicat la pătrat este egal cu un număr real negativ. Unitatea imaginară este i = √ (-1).

În ecuația: z ² = - a, z este un număr imaginar care este exprimat astfel:

z = √ (-a) = i√ (a)

Fiind un număr real pozitiv. Dacă a = 1, atunci z = i, unde i este unitatea imaginară.

Figura 1. Planul complex care prezintă unele numere reale, unele numere imaginare și unele numere complexe. Sursa: F. Zapata.

În general, un număr imaginar pur z este întotdeauna exprimat sub forma:

z = y⋅i

Unde y este un număr real și i este unitatea imaginară.

La fel cum numerele reale sunt reprezentate pe o linie, numită linie reală, în mod similar sunt reprezentate numere imaginare pe linia imaginară.

Linia imaginară este întotdeauna ortogonală (formă de 90 °) față de linia reală, iar cele două linii definesc un plan cartezian numit plan complex.

În figura 1 este prezentat planul complex și pe el sunt reprezentate câteva numere reale, unele numere imaginare și, de asemenea, unele numere complexe:

X ₁ , X ₂ , X ₃ sunt numere reale

Y ₁ , Y ₂ , Y ₃ sunt numere imaginare

Z ₂ și Z ₃ sunt numere complexe

Numărul O este zero real și este de asemenea zero imaginar, deci originea O este zero complex exprimată de:

0 + 0i

Proprietăți

Setul de numere imaginare este notat de:

I = {……, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i, ……}

Și puteți defini unele operații pe acest set numeric. Un număr imaginar nu este întotdeauna obținut din aceste operațiuni, așa că haideți să le privim mai puțin în detaliu:

Adăugați și scăpați imaginarul

Numerele imaginare pot fi adăugate și scăzute una de la alta, rezultând un număr imaginar nou. De exemplu:

3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Produs imaginar

Când este produs produsul unui număr imaginar cu altul, rezultatul este un număr real. Să facem următoarea operație pentru a o verifica:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

Și după cum putem vedea, -6 este un număr real, deși a fost obținut prin înmulțirea a două numere imaginare pure.

Produs al unui număr real de un alt imaginar

Dacă un număr real este înmulțit cu i, rezultatul va fi un număr imaginar, care corespunde unei rotații de 90 de grade în sens contrar acelor de ceasornic.

Și este faptul că i ² corespunde la două rotații consecutive de 90 de grade, ceea ce echivalează cu înmulțirea cu -1, adică i ² = -1. Poate fi văzut în următoarea diagramă:

Figura 2. Înmulțirea cu unitatea imaginară i corespunde rotațiilor de 90 ° în sensul acelor de ceasornic. Sursa: wikons commons.

De exemplu:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

Împuternicirea unui imaginar

Puteți defini potențarea unui număr imaginar la un exponent întreg:

i ¹ = i

i ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

i ³ = ixi ² = -i

i ⁴ = i ² xi ² = -1 x -1 = 1

i ⁵ = ixi ⁴ = i

În general avem că i ⁿ = i ^ (n mod 4), unde mod este restul diviziunii dintre n și 4.

Potențarea negativă a întregului număr se poate face și:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹ ) = i / (i ² ) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / i ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

În general, numărul imaginar b⋅i ridicat la puterea n este:

(b⋅i) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

Câteva exemple sunt următoarele:

(5 i) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 i) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

Suma unui număr real și a unui număr imaginar

Când adăugați un număr real cu unul imaginar, rezultatul nu este nici real, nici imaginar, este un nou tip de număr numit număr complex.

De exemplu, dacă X = 3,5 și Y = 3,75i, atunci rezultatul este numărul complex:

Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i

Rețineți că, în sumă, părțile reale și imaginare nu pot fi grupate, astfel încât un număr complex va avea întotdeauna o parte reală și o parte imaginară.

Această operație extinde setul de numere reale la cel mai larg număr de complexe.

Aplicații

Numele numerelor imaginare a fost propus de matematicianul francez René Descartes (1596-1650) ca o batjocură sau dezacord cu propunerea aceluiași făcut de matematicianul italian al secolului Raffaelle Bombelli.

Alți mari matematicieni, cum ar fi Euler și Leibniz, l-au sprijinit pe Descartes în acest dezacord și au numit numere imaginare numere amfibii, care erau sfâșiate între ființă și nimic.

Numele numerelor imaginare rămâne astăzi, dar existența și importanța lor este foarte reală și palpabilă, deoarece acestea apar în mod natural în multe domenii ale fizicii, cum ar fi:

-Teoria relativității.

-În electromagnetism.

-Mecanica cuantică.

Exerciții cu numere imaginare

- Exercitiul 1

Găsiți soluțiile următoarei ecuații:

z ² + 16 = 0

Soluţie

z ² = -16

Având rădăcină pătrată în ambii membri avem:

√ (z ² ) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

Cu alte cuvinte, soluțiile ecuației originale sunt:

z = + 4i oz = -4i.

- Exercițiul 2

Găsiți rezultatul creșterii unității imaginare la puterea 5 minus scăderea unității imaginare ridicată la putere -5.

Soluţie

i ⁵ - i- ⁵ = i ⁵ - 1 / i ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (ixi) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- Exercițiul 3

Găsiți rezultatul următoarei operații:

(3i) ³ + 9i

Soluţie

3 ³ i ³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Exercițiul 4

Găsiți soluțiile următoarei ecuații patratice:

(-2x) ² + 2 = 0

Soluţie

Ecuația este rearanjată după cum urmează:

(-2x) ² = -2

Apoi se ia rădăcina pătrată a ambilor membri

√ ((- 2x) ² ) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Apoi rezolvăm x pentru a obține în cele din urmă:

x = ± √2 / 2 i

Adică există două soluții posibile:

x = (√2 / 2) i

Sau altul:

x = - (√2 / 2) i

- Exercițiul 5

Găsiți valoarea lui Z definită de:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Soluţie

Știm că rădăcina pătrată a unui număr real negativ este un număr imaginar, de exemplu √ (-9) este egal cu √ (9) x √ (-1) = 3i.

Pe de altă parte, √ (-4) este egal cu √ (4) x √ (-1) = 2i.

Deci ecuația inițială poate fi înlocuită cu:

3i x 2i - 7 = 6 i ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- Exercițiul 6

Găsiți valoarea Z care rezultă din următoarea împărțire a două numere complexe:

Z = (9 - i ² ) / (3 + i)

Soluţie

Numerotatorul expresiei poate fi luat în considerare folosind următoarea proprietate:

Asa de:

Z = / (3 + i)

Expresia rezultată este simplificată mai jos, lăsând

Z = (3 - i)

Referințe

1. Earl, R. Numere complexe. Recuperat din: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematica 1. Diversified. Ediții CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Selecția subiectelor de matematică. Publicații Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Sala Prentice.
5. Wikipedia. Număr imaginar. Recuperat de la: en.wikipedia.org