Se numește relativ prim (coprim sau sunt relativ prime unul față de celălalt) oricărei perechi de numere întregi nu au un divizor comun decât 1.
Cu alte cuvinte, două numere întregi sunt prime relative dacă în descompunerea lor în numere prime, acestea nu au niciun factor în comun.
De exemplu, dacă sunt alese 4 și 25, factorizările prime ale fiecăruia sunt de 2², respectiv 5². După cum se poate observa, aceștia nu au niciun factor comun, prin urmare, 4 și 25 sunt primele relative.
Pe de altă parte, dacă se aleg 6 și 24, atunci când se efectuează descompunerile lor în factori primi, obținem că 6 = 2 * 3 și 24 = 2³ * 3.
După cum puteți vedea, aceste două ultime expresii au cel puțin un factor în comun, prin urmare, nu sunt primele relative.
Vrăjini relative
Un detaliu de care trebuie să aveți grijă este faptul că a spune că o pereche de numere întregi sunt primele relative nu implică faptul că oricare dintre ele este un număr prim.
Pe de altă parte, definiția de mai sus poate fi rezumată după cum urmează: două numere întregi „a” și „b” sunt primele relative dacă și numai dacă, cel mai mare divizor comun dintre acestea este 1, adică mcd ( a, b) = 1.
Două concluzii imediate din această definiție sunt următoarele:
-Dacă «a» (sau «b») este un număr prim, atunci mcd (a, b) = 1.
-Dacă «a» și «b» sunt numere prime, atunci mcd (a, b) = 1.
Adică, dacă cel puțin unul dintre numerele alese este un număr prim, atunci perechea de numere este primă relativă.
Alte caracteristici
Alte rezultate care sunt utilizate pentru a determina dacă două numere sunt primele relative sunt:
-Dacă două numere întregi sunt consecutive, atunci acestea sunt prime relative.
-Doua numere naturale "a" și "b" sunt prime relative dacă și numai dacă, numerele "(2 ^ a) -1" și "(2 ^ b) -1" sunt prime relative.
-Doua numere întregi „a” și „b” sunt prime relative dacă și numai dacă, atunci când se graficează punctul (a, b) în planul cartezian și se construiește linia care trece prin origine (0,0) și ( a, b), nu conține niciun punct cu coordonate întregi.
Exemple
1.- Considerați numerele întregi 5 și 12. Descompunerile în factori primi ai ambelor numere sunt: 5, respectiv 2² * 3. În concluzie, mcd (5,12) = 1, prin urmare, 5 și 12 sunt prime relative.
2.- Fie numerele -4 și 6. Apoi -4 = -2² și 6 = 2 * 3, astfel încât ecranul LCD (-4,6) = 2 ≠ 1. În concluzie -4 și 6 nu sunt primele relative.
Dacă vom continua să graficăm linia care trece prin perechile ordonate (-4.6) și (0,0) și pentru a determina ecuația liniei menționate, se poate verifica că trece prin punctul (-2,3).
Din nou se concluzionează că -4 și 6 nu sunt primele relative.
3.- Numerele 7 și 44 sunt primele relative și se pot încheia rapid datorită celor spuse mai sus, deoarece 7 este un număr prim.
4.- Luați în considerare numerele 345 și 346. Fiind două numere consecutive, se verifică că mcd (345.346) = 1, prin urmare 345 și 346 sunt prime relative.
5.- Dacă sunt luate în considerare numerele 147 și 74, atunci acestea sunt primele relative, deoarece 147 = 3 * 7² și 74 = 2 * 37, deci LCD-ul (147,74) = 1.
6.- Numerele 4 și 9 sunt prime relative. Pentru a demonstra acest lucru, se poate utiliza a doua caracterizare menționată mai sus. Într-adevăr, 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 și 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.
Numerele obținute sunt 15 și 511. Factorizările prime ale acestor numere sunt 3 * 5 și respectiv 7 * 73, astfel încât ecranul LCD (15,511) = 1.
După cum vedeți, utilizarea celei de-a doua caracterizări este o muncă mai lungă și mai laborioasă decât verificarea directă a acesteia.
7.- Luați în considerare numerele -22 și -27. Atunci aceste numere pot fi rescrise astfel: -22 = -2 * 11 și -27 = -3³. Prin urmare, mcd (-22, -27) = 1, deci -22 și -27 sunt prime relative.
Referințe
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Introducere în teoria numerelor. EUNED.
- Bourdon, PL (1843). Elemente aritmetice. Biblioteca văduvelor și copiilor din Calleja.
- Castañeda, S. (2016). Curs de bază al teoriei numerelor. Universitatea de Nord.
- Guevara, MH (nd). Setul de numere întregi. EUNED.
- Institutul Superior de Formare a Profesorilor (Spania), JL (2004). Numere, forme și volume în mediul copilului. Ministerul Educației.
- Palmer, CI, & Bibb, SF (1979). Matematică practică: aritmetică, algebră, geometrie, trigonometrie și regulă de diapozitive (ediție reimprimată). Reverte.
- Rock, NM (2006). Algebra I este ușor! Atât de ușor. Echipa Rock Press.
- Smith, SA (2000). Algebră. Pearson Education.
- Szecsei, D. (2006). Matematica de bază și prealgebră (ed. Ilustrată). Presa în carieră.
- Toral, C., & Preciado, M. (1985). Al doilea curs de matematică. Editorial Progreso.
- Wagner, G., Caicedo, A., & Colorado, H. (2010). Principiile de bază ale aritmeticii. ELIZCOM SAS