Gravicentro este o definiție care este foarte utilizată în geometria atunci când se lucrează cu triunghiuri.
Pentru a înțelege definiția gravitației, mai întâi este necesar să cunoaștem definiția „medianelor” unui triunghi.
Medianele unui triunghi sunt segmentele de linie care încep de la fiecare vertex și ajung la punctul mediu al laturii opuse acel vertex.
Punctul de intersecție al celor trei medii ale unui triunghi se numește barycenter sau este cunoscut și ca gravicenter.
Nu este suficient doar să știi definiția, ci este interesant să știi cum este calculat acest punct.
Calculul centrului de greutate
Având în vedere un triunghi ABC cu vârfurile A = (x1, y1), B = (x2, y2) și C = (x3, y3), avem că gravicenterul este intersecția celor trei mediane ale triunghiului.
O formulă rapidă care permite calcularea centrului de greutate al unui triunghi, fiind cunoscute coordonatele vârfurilor sale este:
G = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3).
Cu această formulă, puteți afla locația gravicentrului în planul cartezian.
Caracteristicile Gravicentro
Nu este necesar să se atragă cele trei mediane ale triunghiului, deoarece atunci când se desenează două dintre ele, va fi evident unde se află gravicentro.
Gravicentro împarte fiecare mediană în 2 părți a căror proporție este de 2: 1, adică cele două segmente ale fiecărei mediane sunt împărțite în segmente de lungimi 2/3 și 1/3 din lungimea totală, distanța mai mare fiind cea existentă. între vertex și centrul de gravitație.
Următoarea imagine ilustrează mai bine această proprietate.
Formula de calcul a gravitației este foarte simplu de aplicat. Modul de a obține această formulă este calculând ecuațiile de linie care definesc fiecare mediană și apoi găsind punctul de intersecție al acestor linii.
Exerciții
Iată o listă scurtă de probleme cu privire la calculul centrului de greutate.
1.- Având în vedere un triunghi cu vârfurile A = (0,0), B = (1,0) și C = (1,1), calculați centrul de greutate al respectivului triunghi.
Folosind formula dată, se poate concluziona rapid că centrul de greutate al triunghiului ABC este:
G = ((0 + 1 + 1) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (2/3, 1/3).
2.- Dacă un triunghi are vârfurile A = (0,0), B = (1,0) și C = (1 / 2,1), care sunt coordonatele gravicentrului?
Deoarece sunt cunoscute vârfurile triunghiului, procedăm la aplicarea formulei pentru calculul centrului de gravitație. Prin urmare, gravicentro are coordonate:
G = ((0 + 1 + 1/2) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (1/2, 1/3).
3.- Calculați posibilele gravicentre pentru un triunghi echilateral astfel încât două dintre vârfurile sale sunt A = (0,0) și B = (2,0).
În acest exercițiu, specificați doar două vârfuri ale triunghiului. Pentru a găsi posibilele gravicentros, trebuie să calculăm mai întâi al treilea vertex al triunghiului.
Deoarece triunghiul este echilateral și distanța dintre A și B este 2, al treilea vertex C trebuie să fie la distanța 2 de A și B.
Folosind faptul că într-un triunghi echilateral înălțimea coincide cu mediana și folosind, de asemenea, teorema pitagoreică, se poate concluziona că opțiunile pentru coordonatele celui de-al treilea vertex sunt C1 = (1, √3) sau C2 = (1, - √3).
Deci, coordonatele celor două gravicentre posibile sunt:
G1 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0 + √3) / 3) = (3/3, √3 / 3) = (1, √3 / 3),
G2 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0-√3) / 3) = (3/3, -√3 / 3) = (1, -√3 / 3).
Datorită conturilor anterioare, se poate observa, de asemenea, că mediana a fost împărțită în două părți a căror proporție este de 2: 1.
Referințe
- Landaverde, F. d. (1997). Geometrie (reed. Ed.). Progresul.
- Leake, D. (2006). Triunghiuri (ed. Ilustrată). Heinemann-Raintree.
- Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
- Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrii. Tehnologie CR
- Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.
- Sullivan, M. (1997). Trigonometrie și geometrie analitică. Pearson Education.