PRODUS ÎNCRUCIȘAT: PROPRIETĂȚI, APLICAȚII ȘI EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

Produsul încrucișat sau produsul vectorial este o modalitate de înmulțire a doi sau mai multor vectori. Există trei modalități de înmulțire a vectorilor, dar niciuna dintre acestea nu se înmulțește în sensul obișnuit al cuvântului. Una dintre aceste forme este cunoscută sub numele de produs vectorial, care are ca rezultat un al treilea vector.

Produsul încrucișat, care se mai numește produs încrucișat sau produs exterior, are proprietăți algebrice și geometrice diferite. Aceste proprietăți sunt foarte utile, mai ales în ceea ce privește studiul fizicii.

Definiție

O definiție formală a produsului vectorial este următoarea: dacă A = (a1, a2, a3) și B = (b1, b2, b3) sunt vectori, atunci produsul vectorial al lui A și B, pe care îl vom indica drept AxB, este:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Datorită notației AxB, aceasta este citită drept "A cruce B".

Un exemplu de utilizare a produsului exterior este că dacă A = (1, 2, 3) și B = (3, -2, 4) sunt vectori, atunci folosind definiția unui produs vectorial avem:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Un alt mod de exprimare a produsului vectorial este dat de notația determinanților.

Calculul unui determinant de ordinul doi este dat de:

Prin urmare, formula pentru produsul încrucișat din definiție poate fi rescrisă după cum urmează:

Aceasta este de obicei simplificată într-un determinant de ordinul trei, după cum urmează:

Unde i, j, k reprezintă vectorii care formează baza R ³ .

Folosind acest mod de exprimare a produsului încrucișat, considerăm că exemplul anterior poate fi rescris ca:

Proprietăți

Unele proprietăți pe care le are produsul vectorial sunt următoarele:

Proprietatea 1

Dacă A este orice vector în R ³ , avem:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Aceste proprietăți sunt ușor de verificat folosind doar definiția. Dacă A = (a1, a2, a3) avem:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Dacă i, j, k reprezintă baza unitară a lui R ³ , le putem scrie astfel:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Deci, trebuie să avem următoarele proprietăți:

Ca regulă mnemonică, adesea se folosește următorul cerc pentru a aminti aceste proprietăți:

Trebuie să observăm că orice vector cu sine dă vectorul 0 ca rezultat, iar restul produselor pot fi obținute cu următoarea regulă:

Produsul încrucișat de doi vectori consecutivi într-o direcție în sensul acelor de ceasornic dă următorul vector; și atunci când este luat în considerare în sens invers acelor de ceasornic, rezultatul este următorul vector cu semn negativ.

Datorită acestor proprietăți putem vedea că produsul vectorial nu este comutativ; de exemplu, rețineți că ixj ≠ jx i. Următoarea proprietate ne spune cum sunt legate în general AxB și BxA.

Proprietatea 2

Dacă A și B sunt vectori ai R ³ , avem:

AxB = - (BxA).

Demonstrație

Dacă A = (a1, a2, a3) și B = (b1, b2, b3), prin definiția produsului extern, avem:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

De asemenea, putem vedea că acest produs nu este asociat cu următorul exemplu:

ix (ixj) = ixk = - j, dar (ixi) xj = 0xj = 0

Din acest lucru putem vedea că:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Proprietatea 3

Dacă A, B, C sunt vectori ai R ³ și r este un număr real, următoarele este adevărată:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Datorită acestor proprietăți putem calcula produsul vectorial folosind legile algebrei, cu condiția respectării comenzii. De exemplu:

Dacă A = (1, 2, 3) și B = (3, -2, 4), le putem rescrie în termenii bazei canonice a lui R ³ .

Astfel, A = i + 2j + 3k și B = 3i - 2j + 4k. Apoi, aplicând proprietățile anterioare:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Proprietatea 4 (produs triplu punct)

Așa cum am menționat la început, există și alte modalități de a multiplica vectori pe lângă produsul vectorial. Unul dintre aceste moduri este produsul scalar sau produsul interior, care este notat ca A ∙ B și a cărui definiție este:

Dacă A = (a1, a2, a3) și B = (b1, b2, b3), atunci A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Proprietatea care se referă la ambele produse este cunoscută sub numele de triplu scalar.

Dacă A, B și C sunt vectori ai lui R ³ , atunci A ∙ BxC = AxB ∙ C

Ca exemplu, să vedem că, având în vedere A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) și C = (- 5, 1, - 4), această proprietate este satisfăcută.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Pe de altă parte:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Un alt produs triplu este Ax (BxC), care este cunoscut sub numele de produs triplu vector.

Proprietatea 5 (produs vector triplu)

Dacă A, B și C sunt vectorii R ³ , atunci:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Ca exemplu, să vedem că, având în vedere A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) și C = (- 5, 1, - 4), această proprietate este satisfăcută.

Din exemplul anterior știm că BxC = (- 18, - 22, 17). Să calculăm Ax (BxC):

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Pe de altă parte, trebuie să:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Astfel, trebuie să:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, –4)

Proprietatea 6

Este una dintre proprietățile geometrice ale vectorilor. Dacă A și B sunt doi vectori în R ³ și Θ este unghiul format între ele, atunci:

--AxB-- = - A ---- B - sin (ϴ), unde - ∙ - denumește modulul sau mărimea unui vector.

Interpretarea geometrică a acestei proprietăți este următoarea:

Fie A = PR și B = PQ. Deci unghiul format din vectorii A și B este unghiul P al triunghiului RQP, așa cum se arată în figura următoare.

Prin urmare, aria paralelogramei care are PR și PQ ca laturi adiacente este - A ---- B - sin (ϴ), deoarece putem lua - A-- ca bază și înălțimea sa este dată de - B - păcat (ϴ).

Prin urmare, putem concluziona că --AxB-- este aria paralelogramului menționat.

Exemplu

Având în vedere următoarele vertexuri ale unui patrulater P (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) și S (5,7, -3), arată că respectivul patrulater este un paralelogram și găsește-i zona.

Pentru aceasta, mai întâi determinăm vectorii care determină direcția laturilor patrulaterului. Aceasta este:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

După cum vedem, A și C au același vector director, pentru care avem că ambele sunt paralele; același lucru se întâmplă cu B și D. Prin urmare, concluzionăm că PQRS este un paralelogram.

Pentru a avea aria acestui paralelogram, calculăm BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Prin urmare, suprafața pătrată va fi:

--BxA-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

Se poate concluziona că zona paralelogramă va fi rădăcina pătrată a 89.

Proprietatea 7

Doi vectori A și B sunt paraleli în R ³ dacă și numai dacă AxB = 0

Demonstrație

Este clar că dacă A sau B sunt vectorul nul, se împlinește că AxB = 0. Deoarece vectorul zero este paralel cu oricare alt vector, atunci proprietatea este valabilă.

Dacă niciunul dintre cei doi vectori nu este vectorul zero, avem în vedere că mărimile lor sunt diferite de zero; adică ambele --A-- ≠ 0 și --B-- ≠ 0, deci vom avea --AxB-- = 0 dacă și numai dacă sin (ϴ) = 0, iar acest lucru se întâmplă dacă și numai dacă ϴ = π sau ϴ = 0.

Prin urmare, putem concluziona AxB = 0 dacă și numai dacă ϴ = π sau ϴ = 0, ceea ce se întâmplă doar atunci când ambii vectori sunt paraleli între ei.

Proprietatea 8

Dacă A și B sunt doi vectori în R ³ , atunci AxB este perpendicular atât la A cât și la B.

Demonstrație

Pentru această dovadă, să ne amintim că doi vectori sunt perpendiculari dacă A ∙ B este egal cu zero. Mai mult, știm că:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, dar AxA este egal cu 0. Prin urmare, avem:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Prin aceasta putem concluziona că A și AxB sunt perpendiculare între ele. În mod analog, trebuie să:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Deoarece BxB = 0, avem:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Prin urmare, AxB și B sunt perpendiculare între ele și, prin aceasta, proprietatea este demonstrată. Acest lucru ne este foarte util, deoarece ne permit să determinăm ecuația unui plan.

Exemplul 1

Obțineți o ecuație a planului care trece prin punctele P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) și R (2, 1, 3).

Fie A = QR = (2 - 3.1 + 2, 3 - 2) și B = PR = (2 - 1.1 - 3, 3 - 2). Atunci A = - i + 3j + k și B = i - 2j + k. Pentru a găsi planul format din aceste trei puncte, este suficient să găsești un vector normal pentru plan, care este AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Cu acest vector și luând punctul P (1, 3, 2), putem determina ecuația planului astfel:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Astfel, avem că ecuația planului este 5x + 2y - z - 9 = 0.

Exemplul 2

Găsiți ecuația planului care conține punctul P (4, 0, - 2) și care este perpendiculară pe fiecare dintre planurile x - y + z = 0 și 2x + y - 4z - 5 = 0.

Știind că un vector normal pentru un plan ax + de + cz + d = 0 este (a, b, c), avem că (1, -1,1) este un vector normal de x - y + z = 0 y ( 2,1, - 4) este un vector normal de 2x + y - 4z - 5 = 0.

Prin urmare, un vector normal pe planul căutat trebuie să fie perpendicular pe (1, -1,1) și pe (2, 1, - 4). Acest vector este:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Atunci, avem că planul căutat este cel care conține punctul P (4,0, - 2) și are vectorul (3,6,3) ca vector normal.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Aplicații

Calculul volumului unui paralelipiped

O aplicație care are produsul triplu scalar trebuie să poată calcula volumul unui paralelipiped ale cărui margini sunt date de vectorii A, B și C, așa cum se arată în figura:

Putem deduce această aplicație după cum urmează: așa cum am spus anterior, vectorul AxB este un vector normal pentru planul lui A și B. Avem, de asemenea, că vectorul - (AxB) este un alt vector normal pentru planul respectiv.

Alegem vectorul normal care formează cel mai mic unghi cu vectorul C; Fără pierdere de generalitate, să fie AxB vectorul al cărui unghi cu C este cel mai mic.

Avem că atât AxB cât și C au același punct de plecare. Mai mult, știm că aria paralelogramei care formează baza paralelepipedului este --AxB--. Prin urmare, dacă înălțimea paralelepipedului este dată de h, avem că volumul său va fi:

V = --AxB - h.

Pe de altă parte, să luăm în considerare produsul punct între AxB și C, care poate fi descris astfel:

Cu toate acestea, prin proprietăți trigonometrice avem că h = - C - cos (ϴ), deci avem:

În acest fel, avem următoarele:

În termeni generali, considerăm că volumul unui paralelipiped este dat de valoarea absolută a produsului triplu scalar AxB ∙ C.

Exerciții rezolvate

Exercitiul 1

Având în vedere punctele P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) și S = (2, 6, 9), aceste puncte formează un paralelipiped ale cărui muchii sunt PQ, PR și PS. Determinați volumul paralelipipedului menționat.

Soluţie

Dacă luăm:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Utilizând proprietatea produsului triplu scalar, avem:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Prin urmare, avem că volumul paralelipipedului este 52.

Exercițiul 2

Determinați volumul unui paralelipiped ale cărui margini sunt date de A = PQ, B = PR și C = PS, unde punctele P, Q, R și S sunt (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) și, respectiv, (2, 2, 5).

Soluţie

Mai întâi avem că A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Calculăm AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Apoi calculăm AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Astfel concluzionăm că volumul paralelipipedului menționat este de 1 unitate cubică.

Referințe

1. Leithold, L. (1992). Calculul cu geometrie analitică. HARLA, SA
2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. Mexic: continental.
3. Saenz, J. (nd). Calculul vectorial 1ed. Ipotenuză.
4. Spiegel, MR (2011). Analiza vectorială 2ed. Mc Graw Hill.
5. Zill, DG, & Wright, W. (2011). Calcularea mai multor variabile 4ed. Mc Graw Hill.